Use a propriedade da função inversa para mostrar que
e
são inversas uma da outra.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
são inversas uma da outra, usando a propriedade de composição que resulta na função identidade.
e
são inversas uma da outra, usando a propriedade de composição que resulta na função identidade.
Passo 2
Pela definição, duas funções
e
são inversas se, para todo
em seus respectivos domínios, valem
e
Passo 3
Calculando a primeira composição:
Como a potência de expoente 5 anula a raiz de índice 5, obtemos
Passo 4
Calculando a segunda composição:
De forma análoga, a raiz quinta anula a potência de expoente 5, ficando
Passo 5
Como essas igualdades valem para todo
(a raiz quinta está bem definida em todos os reais), concluímos que
Isso prova que
e
são funções inversas.
Resposta
As composições
e
retornam
para todo
, logo
e
são inversas uma da outra.