Use a propriedade da função inversa para mostrar que f e g são inversas uma da outra.
f(x)=x^{5} ; \quad g(x)=\sqrt[5]{x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções \displaystyle f(x)=x^5
e \displaystyle g(x)=\sqrt[5]{x}
são inversas uma da outra, usando a propriedade de composição que resulta na função identidade.

Passo 2

Pela definição, duas funções f e g são inversas se, para todo x em seus respectivos domínios, valem
f\bigl(g(x)\bigr)=x
e
g\bigl(f(x)\bigr)=x.

Passo 3

Calculando a primeira composição:
f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(\sqrt[5]{x}\bigr) =\bigl(\sqrt[5]{x}\bigr)^5.
Como a potência de expoente 5 anula a raiz de índice 5, obtemos
f\bigl(g(x)\bigr)=x.

Passo 4

Calculando a segunda composição:
g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl(x^5\bigr) =\sqrt[5]{x^5}.
De forma análoga, a raiz quinta anula a potência de expoente 5, ficando
g\bigl(f(x)\bigr)=x.

Passo 5

Como essas igualdades valem para todo x\in\mathbb{R} (a raiz quinta está bem definida em todos os reais), concluímos que
f\circ g = \mathrm{id} \quad\text{e}\quad g\circ f = \mathrm{id}.
Isso prova que f e g são funções inversas.

Resposta

As composições f(g(x)) e g(f(x)) retornam x para todo x\in\mathbb{R}, logo f e g são inversas uma da outra.

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