Use propriedades comparativas da integral para estimar o valor de integral0^1 e^-x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para estimar o valor de integral0^1e^-x^2,dx usando propriedades comparativas de integrais. O conteúdo é comparação de integrais e vamos precisar de desigualdades envolvendo a função exponencial e de monotonicidade para integrá-la com funções mais simples.

Passo 2

Para obter um limite inferior, usamos que para t>=0, e^-t>=1 - t. Como x^2>=0 em [0,1], temos
e^-x^2>=1 - x^2
Então
integral0^1e^-x^2,dx>=integral0^1(1 - x^2),dx

Passo 3

Agora calculamos integral0^1(1 - x^2),dx. Integrando, temos
integral0^1(1 - x^2),dx=l[x-x^33r]0^1=1-13=23
Logo,
integral0^1e^-x^2,dx>=23

Passo 4

Para um limite superior mais refinado, usamos que para t>=0, e^t>=1 + t. Invertendo, temos
e^-x^2<=11 + x^2
Então
integral0^1e^-x^2,dx<=integral0^111 + x^2,dx

Passo 5

Calculamos integral0^111 + x^2,dx. Sabemos que
integral0^111 + x^2,dx=l[arctan xr]0^1=pi4
Portanto,
integral0^1e^-x^2,dx<=pi4

Passo 6

Combinando os resultados, concluímos que
23<=integral0^1e^-x^2,dx<=pi4,
ou numericamente
.

Resposta

23<=integral0^1e^-x^2,dx<=pi4

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