Determine uma equação de plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado:
Passo 1
A superfície é dada por z = e^{3x} sen 3y e o ponto de interesse é P
. O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de duas variáveis, plano tangente e reta normal. Para resolver, vamos precisar calcular f_x e f_y no ponto P.
Passo 2
Definindo f(x,y)=e^{3x} sen 3y, as derivadas parciais são
No ponto P temos e^{3\cdot0}=1, sen(3\cdot\tfrac{\pi}{6})=sen(\tfrac{\pi}{2})=1 e cos(\tfrac{\pi}{2})=0. Logo f_x§=3 e f_y§=0.
Passo 3
A equação do plano tangente a uma superfície z=f(x,y) em P
é
Substituindo x_0=0, y_0=\tfrac{\pi}{6}, z_0=1, f_x§=3 e f_y§=0, obtemos
portanto
Passo 4
O vetor normal ao plano tangente (e à superfície) é n=(f_x§,f_y§,-1)=(3,0,-1). Assim a reta normal passando por P tem equações paramétricas
Resposta
Equação do plano tangente:
Equações paramétricas da reta normal: