Determine uma equação de plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado:
z=e^3 x sen 3 y ; P=(0, pi6, 1

Passo 1

A superfície é dada por z = e^{3x} sen 3y e o ponto de interesse é P (0,tfracpi6,1). O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de duas variáveis, plano tangente e reta normal. Para resolver, vamos precisar calcular f_x e f_y no ponto P.

Passo 2

Definindo f(x,y)=e^{3x} sen 3y, as derivadas parciais são
fx=partialpartial x(e^3xsin 3y)=3e^3xsin 3y,
fy=partialpartial y(e^3xsin 3y)=3e^3xcos 3y
No ponto P temos e^{3\cdot0}=1, sen(3\cdot\tfrac{\pi}{6})=sen(\tfrac{\pi}{2})=1 e cos(\tfrac{\pi}{2})=0. Logo f_x§=3 e f_y§=0.

Passo 3

A equação do plano tangente a uma superfície z=f(x,y) em P (x0,y0,z0) é
z-z0=fx(P)(x-x0)+fy(P)(y-y0)
Substituindo x_0=0, y_0=\tfrac{\pi}{6}, z_0=1, f_x§=3 e f_y§=0, obtemos
z-1=3(x-0)+0,(y-tfracpi6)
portanto
z=3x+1

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente (e à superfície) é n=(f_x§,f_y§,-1)=(3,0,-1). Assim a reta normal passando por P tem equações paramétricas
x=0+3t, y=tfracpi6+0cdot t, z=1-1cdot t, tinR

Resposta

Equação do plano tangente:
z=3x+1
Equações paramétricas da reta normal:
x=3t, y=tfracpi6, z=1-t, tinR

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