Use as propriedades dos conjugados e módulos estabelecidas na Seção 6 para mostrar que
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Passo 1
Beleza! Vamos lá. O enunciado pede para a gente usar as propriedades dos números conjugados e dos módulos para mostrar que:
Então, a matéria que vamos usar aqui envolve números complexos, especificamente conjugados e módulos. Para resolver, vamos precisar lembrar que o módulo de um produto é o produto dos módulos e que o módulo de um número complexo $ a + b i $ é $ \sqrt{a^2 + b^2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o conjugado de $ z $, denotado por $ \bar{z} $, tem o mesmo valor real e o sinal do imaginário invertido. Ou seja, se $ z = a + b i $, então $ \bar{z} = a - b i $.
Passo 3
Agora, vamos considerar o módulo do produto $ (2 \bar{z} + 5)(\sqrt{2} - i) $. Usando a propriedade do módulo de um produto, temos:
Passo 4
Vamos calcular o módulo de $ \sqrt{2} - i $. Aplicando a fórmula do módulo:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na equação original:
Passo 6
Observamos que $ |2 \bar{z} + 5| = |2z + 5| $. Isso ocorre porque o módulo de $ \bar{z} $ é igual ao módulo de $ z $, já que $ | \bar{z} | = | z | $.
Passo 7
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
Conseguimos mostrar que: