Use as propriedades de continuidade para determinar o conjunto de pontos em que cada uma das seguintes funções é contínua. Justifique suas respostas.
A função
definida por
A função
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: determinar o conjunto de pontos em que
é contínua e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
(numerador e denominador são expressos em termos de e ). - Implicitamente,
só está definida quando o denominador não é zero, isto é, quando .
Passo 2
Lembrete (definição de continuidade em
, explicado de forma simples).
- Dizemos que uma função
é contínua num ponto se o limite de quando existe e é igual ao valor . - Em outras palavras, é preciso que
esteja definida em e que os valores fiquem arbitrariamente próximos de sempre que ficar suficientemente perto de .
Propriedades úteis (fórmulas e ideias que vamos usar):
- Funções afins/lineares de
(como , , , ) são contínuas em todo . - Soma, produto e composição de funções contínuas são contínuas.
- Regra do quociente: se
e são contínuas em um ponto e não se anula nesse ponto ( ), então é contínua nesse ponto.
Vou aplicar essas propriedades ao numerador e ao denominador de
.
Passo 3
Identificar numerador e denominador e verificar continuidade deles.
- Defina
. Esta é uma função linear em e ; portanto é contínua em todo . - Defina
. Esta também é linear em e ; portanto é contínua em todo .
Como
, pela regra do quociente concluímos que
é contínua em todo ponto onde
, ou seja, onde
.
Passo 4
Tratar os pontos com
(a diagonal
).
-
Em primeiro lugar,
não está definida em pontos onde . Um ponto onde a função não está definida não pode ser um ponto de continuidade da própria função (continuidade exige que exista). -
Para reforçar: mesmo se quiséssemos tentar estender
por continuidade a um ponto da diagonal, não há limite único. Mostro dois caminhos que dão comportamentos diferentes (caso geral e caso especial ): - Para um ponto
com , aproxime-se por com . Então
que diverge quando. Logo não existe limite finito ao longo dessa direção. - No caso
, aproxime-se por duas direções diferentes: - Se
então , e o limite quando é . - Se
então , e o limite quando é .
Como os dois limites são diferentes, o limite total não existe em.
- Se
- Para um ponto
Esses exemplos mostram que, na diagonal
, não há limite bem definido (ou tende a infinito), de modo que não é possível ter continuidade ali.
Passo 5
Conclusão final (síntese didática).
- Pelo argumento da regra do quociente:
é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero. - Nos pontos em que
(a linha diagonal ), não está nem sequer definida e, além disso, as tentativas de limite mostram comportamento divergente ou limites diferentes por direções distintas; portanto não há continuidade nesses pontos.