Use as propriedades de continuidade para determinar o conjunto de pontos em que cada uma das seguintes funções é contínua. Justifique suas respostas.
A função f definida por f(x, y)=\frac{x+2 y}{x-y}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\setminus\{(x,y):x-y=0\}\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\frac{x+2y}{x-y}.
O que se pede: determinar o conjunto de pontos em que f é contínua e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de f (numerador e denominador são expressos em termos de x e y).
  • Implicitamente, f só está definida quando o denominador não é zero, isto é, quando x-y\neq0.

Passo 2

Lembrete (definição de continuidade em \mathbb{R}^2, explicado de forma simples).
  • Dizemos que uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua num ponto (a,b) se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(a,b) existe e é igual ao valor f(a,b).
  • Em outras palavras, é preciso que f esteja definida em (a,b) e que os valores f(x,y) fiquem arbitrariamente próximos de f(a,b) sempre que (x,y) ficar suficientemente perto de (a,b).
Propriedades úteis (fórmulas e ideias que vamos usar):
  • Funções afins/lineares de (x,y) (como x, y, x+2y, x-y) são contínuas em todo \mathbb{R}^2.
  • Soma, produto e composição de funções contínuas são contínuas.
  • Regra do quociente: se g e h são contínuas em um ponto e h não se anula nesse ponto ( h\neq0), então g/h é contínua nesse ponto.
Vou aplicar essas propriedades ao numerador e ao denominador de f.

Passo 3

Identificar numerador e denominador e verificar continuidade deles.
  • Defina g(x,y)=x+2y. Esta é uma função linear em x e y; portanto g é contínua em todo \mathbb{R}^2.
  • Defina h(x,y)=x-y. Esta também é linear em x e y; portanto h é contínua em todo \mathbb{R}^2.
Como f(x,y)=\dfrac{g(x,y)}{h(x,y)}, pela regra do quociente concluímos que f é contínua em todo ponto onde h(x,y)\neq0, ou seja, onde x-y\neq0.

Passo 4

Tratar os pontos com x-y=0 (a diagonal x=y).
  • Em primeiro lugar, f não está definida em pontos onde x-y=0. Um ponto onde a função não está definida não pode ser um ponto de continuidade da própria função (continuidade exige que f(a,b) exista).
  • Para reforçar: mesmo se quiséssemos tentar estender f por continuidade a um ponto (a,a) da diagonal, não há limite único. Mostro dois caminhos que dão comportamentos diferentes (caso geral e caso especial a=0):
    1. Para um ponto (a,a) com a\neq0, aproxime-se por x=a+h,\\ y=a com h\to0. Então
    f(a+h,a)=\frac{(a+h)+2a}{(a+h)-a}=\frac{3a+h}{h}=3a\cdot\frac{1}{h}+1,
    que diverge quando h\to0. Logo não existe limite finito ao longo dessa direção.
    1. No caso (0,0), aproxime-se por duas direções diferentes:
      • Se x=h,\\ y=0 então f(h,0)=\dfrac{h+0}{h-0}=1, e o limite quando h\to0 é 1.
      • Se x=0,\\ y=h então f(0,h)=\dfrac{0+2h}{0-h}=-2, e o limite quando h\to0 é -2.
        Como os dois limites são diferentes, o limite total não existe em (0,0).
Esses exemplos mostram que, na diagonal x=y, não há limite bem definido (ou tende a infinito), de modo que não é possível ter continuidade ali.

Passo 5

Conclusão final (síntese didática).
  • Pelo argumento da regra do quociente: f é contínua em todo ponto onde o denominador x-y é diferente de zero.
  • Nos pontos em que x-y=0 (a linha diagonal \{(x,x):x\in\mathbb{R}\}), f não está nem sequer definida e, além disso, as tentativas de limite mostram comportamento divergente ou limites diferentes por direções distintas; portanto não há continuidade nesses pontos.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\neq y\}

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