Vimos em sala que
\nabla\left(\frac{\hat{r}}{r^{2}}\right)=4 \pi \delta^{3}(\stackrel{\rightharpoonup}{r})
Use esse resultado e considere uma superfície esférica que delimita um volume V com raio R centrado na origem para calcular a seguinte integral
\int_{V}\left(r^{2}+2\right) \nabla\left(\frac{\hat{r}}{r^{2}}\right) d \tau

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{V}\bigl(r^{2}+2\bigr)\,\nabla\!\Bigl(\frac{\hat r}{r^{2}}\Bigr)\,d\tau
sobre o volume V de uma esfera de raio R centrada na origem, sabendo que
\nabla\!\Bigl(\frac{\hat r}{r^{2}}\Bigr)=4\pi\,\delta^{3}(\mathbf r).
O que vamos usar é a propriedade da função delta tridimensional para avaliar essa integral.

Passo 2

Substituindo o resultado dado no integrando, temos
\int_{V}\bigl(r^{2}+2\bigr)\,\nabla\!\Bigl(\frac{\hat r}{r^{2}}\Bigr)\,d\tau =\int_{V}\bigl(r^{2}+2\bigr)\,4\pi\,\delta^{3}(\mathbf r)\,d\tau.

Passo 3

Usamos a propriedade de sifting da delta: para qualquer função f(\mathbf r),
\int f(\mathbf r)\,\delta^{3}(\mathbf r)\,d\tau = f(\mathbf 0).
Aqui f(\mathbf r)=r^{2}+2, logo f(\mathbf 0)=0^{2}+2=2.

Passo 4

Portanto a integral se reduz a
4\pi\;\cdot 2 = 8\pi.

Resposta

8\pi

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