Verifique o posto e a nulidade das seguintes matrizes
A=[ccM & M 0 & M] onde M in R^3 times 3 é não singular.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o posto (rank) e a nulidade (dimensão do núcleo) da matriz AinR^6times6 definida em blocos por
A = M & M [6pt] 0 & M ,
onde MinR^3times3 é não singular. Vamos usar conceitos de núcleo, posto-nulidade e a propriedade de matrizes triangulares em bloco.]

Passo 2

Para achar o núcleo de A, considere um vetor genérico l(x,yr)inR^3timesR^3 e imponha
A x[3pt]y = M,x + M,y [4pt] M,y = 00
Da segunda linha M,y=0 e como M é invertível, segue y=0. Substituindo na primeira linha temos M,x=0 e, pela invertibilidade de M, vem x=0.]

Passo 3

Como a única solução de A(x,y)=0 é (x,y)=(0,0), o núcleo de A é trivial. Portanto
nulidade(A)=dimker(A)=0

Passo 4

Pelo Teorema do Posto-Nulidade, em espaços de dimensão 6, vale
posto(A) + nulidade(A) = 6
Substituindo nulidade(A)=0, obtemos
posto(A)=6

Resposta

posto (A)=6
nulidade (A)=0

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