Verifique o posto e a nulidade das seguintes matrizes
onde
M in R^3 times 3 é não singular.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o posto (rank) e a nulidade (dimensão do núcleo) da matriz
AinR^6times6 definida em blocos por
onde
MinR^3times3 é não singular. Vamos usar conceitos de núcleo, posto-nulidade e a propriedade de matrizes triangulares em bloco.]
Passo 2
Para achar o núcleo de
A , considere um vetor genérico
l(x,yr)inR^3timesR^3 e imponha
Da segunda linha
M,y=0 e como
M é invertível, segue
y=0 . Substituindo na primeira linha temos
M,x=0 e, pela invertibilidade de
M , vem
x=0 .]
Passo 3
Como a única solução de
A(x,y)=0 é
(x,y)=(0,0) , o núcleo de
A é trivial. Portanto
Passo 4
Pelo Teorema do Posto-Nulidade, em espaços de dimensão
6 , vale
Substituindo
nulidade(A)=0 , obtemos
Resposta
posto
(A)=6
nulidade(A)=0
nulidade