Use as propriedades das integrais das funções ímpares e pares para calcular de maneira simplificada as integrais abaixo.
integral-1^1 raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral integral-1^1raizx^2+1,dx usando as propriedades de funções pares e ímpares. O conteúdo aqui é reconhecimento de paridade e cálculo de integral definida de função elementar.

Passo 2

Observamos que f(x)=raizx^2+1 satisfaz f(-x)=raiz(-x)^2+1=raizx^2+1=f(x). Logo, f é uma função par.

Passo 3

Para funções pares vale a propriedade
integral-a^af(x),dx=2integral0^af(x),dx
Aplicando com a=1, temos
integral-1^1raizx^2+1,dx=2integral0^1raizx^2+1,dx

Passo 4

Agora precisamos encontrar a primitiva de raizx^2+1. A fórmula conhecida é
integralraizx^2+1,dx=x2raizx^2+1+12lnl(x+raizx^2+1r)+C

Passo 5

Portanto
integral0^1raizx^2+1,dx=[x2raizx^2+1+12lnl(x+raizx^2+1r)]0^1

Passo 6

Calculando nos limites: em x=1
12raiz2+12ln(1+raiz2),
e em x=0
0+12ln(1)=0
Multiplicando por 2, fica
2l(12raiz2+12ln(1+raiz2)r)=raiz2+ln(1+raiz2)

Resposta

raiz2+ln(1+raiz2)

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