Questão:(2.0 pontos) Considere a função:
.
Determine o vetor unitário na direção e sentido em que
decresce mais rapidamente em
.
Determine o vetor unitário na direção e sentido em que
Passo 1
A questão pede o vetor unitário na direção em que
decresce mais rápido em
. Isso envolve cálculo de gradiente e normalização.
Passo 2
Lembrando da teoria de cálculo multivariável, o gradiente
aponta para a direção de maior crescimento de
em
. Logo, a direção de maior decrescimento é dada por
, e o vetor unitário nessa direção é
Passo 3
Vamos então calcular as derivadas parciais de
Usando quociente, obtemos
$$
\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{y(1+x2+y2) - xy(2x)}{(1+x2+y2)^2}
= \frac{y\bigl(1 - x^2 + y2\bigr)}{(1+x2+y2)2},
= \frac{y\bigl(1 - x^2 + y2\bigr)}{(1+x2+y2)2},
$$
Passo 4
Em um ponto genérico
, temos
Passo 5
Agora o vetor de decrescimento mais rápido é
Falta só normalizar dividindo pelo seu módulo.
Passo 6
O módulo de
é
Assim o vetor unitário de decrescimento é