Questão:(2.0 pontos) Considere a função: g(x, y)=x y1+x^2+y^2.
Determine o vetor unitário na direção e sentido em que g decresce mais rapidamente em P.

Passo 1

A questão pede o vetor unitário na direção em que g decresce mais rápido em P. Isso envolve cálculo de gradiente e normalização.

Passo 2

Lembrando da teoria de cálculo multivariável, o gradiente nabla g(P) aponta para a direção de maior crescimento de g em P. Logo, a direção de maior decrescimento é dada por -nabla g(P), e o vetor unitário nessa direção é
u = -nabla g(P)|nabla g(P)|

Passo 3

Vamos então calcular as derivadas parciais de
g(x,y)=xy1+x^2+y^2
Usando quociente, obtemos
$$
\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{y(1+x2+y2) - xy(2x)}{(1+x2+y2)^2}
= \frac{y\bigl(1 - x^2 + y2\bigr)}{(1+x2+y2)2},
$$
partial gpartial x = y(1+x^2+y^2) - xy(2x)(1+x^2+y^2)^2 = yl(1 - x^2 + y^2r)(1+x^2+y^2)^2,

Passo 4

Em um ponto genérico P=(x0,y0), temos
nabla g(P) = l(y0(1 - x0^2 + y0^2)(1+x0^2+y0^2)^2,;x0(1 + x0^2 - y0^2)(1+x0^2+y0^2)^2r)

Passo 5

Agora o vetor de decrescimento mais rápido é
-nabla g(P) = l(-y0(1 - x0^2 + y0^2)(1+x0^2+y0^2)^2,;-x0(1 + x0^2 - y0^2)(1+x0^2+y0^2)^2r)
Falta só normalizar dividindo pelo seu módulo.

Passo 6

O módulo de nabla g(P) é
|nabla g(P)| = raizy0^2(1 - x0^2 + y0^2)^2 + x0^2(1 + x0^2 - y0^2)^2(1+x0^2+y0^2)^2
Assim o vetor unitário de decrescimento é
u = -nabla g(P)|nabla g(P)| = -1raizy0^2(1 - x0^2 + y0^2)^2 + x0^2(1 + x0^2 - y0^2)^2 l(y0(1 - x0^2 + y0^2),;x0(1 + x0^2 - y0^2)r)

Resposta

u = -nabla g(P)|nabla g(P)| = -1raizy0^2(1 - x0^2 + y0^2)^2 + x0^2(1 + x0^2 - y0^2)^2 l(y0(1 - x0^2 + y0^2),;x0(1 + x0^2 - y0^2)r)

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