Use as propriedades do limite e os limites básicos para calcular os seguintes limites complexos:
lim z -i z^4-1z+i

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver hoje. Temos que calcular o limite complexo:
limz -i z^4-1z+i
Para isso, vamos usar as propriedades dos limites e alguns limites básicos que a gente já viu antes. Vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar o conceito de limite quando a variável se aproxima de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente o valor z = -i na expressão para ver se conseguimos calcular o limite dessa forma:
(-i)^4-1-i + i
Calculando o numerador:
(-i)^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1, então:
1 - 1 = 0
No denominador:
-i + i = 0
Então, temos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada como 00, uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos factorar o numerador z^4 - 1.
Sabemos que z^4 - 1 é uma diferença de potências, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
z^4 - 1 = (z^2)^2 - (1)^2 = (z^2 - 1)(z^2 + 1) = (z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i)
Então, a expressão original fica:
(z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i)z + i
Podemos simplificar cancelando o fator comum (z + i) no numerador e denominador:
(z - 1)(z + 1)(z - i)cancel(z + i)cancelz + i = (z - 1)(z + 1)(z - i)

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo z por -i:
(-i - 1)(-i + 1)(-i - i)
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. -i - 1 = -1 - i
  2. -i + 1 = 1 - i
  3. -i - i = -2i
Então, multiplicando tudo:
(-1 - i)(1 - i)(-2i)

Passo 5

Vamos resolver passo a passo a multiplicação:
Primeiro, multiplicamos (-1 - i)(1 - i):
(-1)(1) + (-1)(-i) + (-i)(1) + (-i)(-i) = -1 + i - i + i^2
Sabendo que i^2 = -1, substituímos:
-1 + i - i -1 = -2
Agora, multiplicamos esse resultado por -2i:
-2 times (-2i) = 4i

Resposta

Portanto, o limite é:
limz -i z^4-1z+i = 4i

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