Determine o domíno, a imagem e esboce curvas de nível da função. Utilize as curvas de nível para esboçar o gráfico da função.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a função $ f(x, y) = 10 - 4x - 5y $ e precisamos:
- Determinar o domínio da função.
- Encontrar a imagem da função.
- Esboçar as curvas de nível da função.
- Usar essas curvas para desenhar o gráfico da função.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são domínio, imagem e curvas de nível. Vamos por partes!
Passo 2
Dominio é o conjunto de todos os valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida. No nosso caso, $ f(x, y) = 10 - 4x - 5y $ é uma função linear, ou seja, ela é definida para todos os números reais de $ x $ e $ y $.
Então, o domínio é:
ou seja, todos os pares de números reais.
Passo 3
Imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de $ f(x, y) $. Como nossa função é linear e não há restrições, $ f(x, y) $ pode assumir qualquer valor real, dependendo de $ x $ e $ y $.
Portanto, a imagem é:
todos os números reais.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre as curvas de nível. Uma curva de nível é onde a função assume um valor constante. Ou seja, fixamos $ f(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante, e resolvemos para $ y $ em termos de $ x $ (ou vice-versa).
Vamos fazer isso:
Podemos rearranjar para isolar $ y $:
Isso é uma equação de uma reta no plano $ xy $. Cada valor de $ k $ nos dá uma reta diferente.
Passo 5
Para entender melhor, vamos escolher alguns valores de $ k $ e desenhar as retas correspondentes:
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Quando $ k = 0 $:
-
Quando $ k = 5 $:
-
Quando $ k = 10 $:
Essas retas representam as curvas de nível para diferentes valores de $ f(x, y) $.
Passo 6
Agora, vamos esboçar essas curvas de nível no plano $ xy $:
- As retas são todas paralelas entre si porque têm o mesmo coeficiente angular $ -\frac{4}{5} $.
- Conforme $ k $ aumenta, as retas se deslocam para cima; conforme $ k $ diminui, se deslocam para baixo.
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta em diferentes regiões.
Passo 7
Finalmente, para desenhar o gráfico da função $ f(x, y) $, usamos as curvas de nível. Cada reta representa uma “cota” de $ f(x, y) $. Como as curvas são todas planas e paralelas, o gráfico da função é um plano inclinado no espaço tridimensional.
Por exemplo:
- A reta $ y = 2 - \frac{4}{5}x $ corresponde ao nível $ f(x, y) = 0 $.
- A reta $ y = 1 - \frac{4}{5}x $ corresponde ao nível $ f(x, y) = 5 $.
- E assim por diante.
Juntando todas essas retas, visualizamos um plano inclinado que se estende indefinidamente em todas as direções.
Resposta
Domínio: $ \mathbb{R}^2 $ (todos os pares de números reais).
Imagem: $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).
Gráfico da função: Um plano inclinado no espaço tridimensional, representado pelas curvas de nível paralelas $ y = \frac{10 - k}{5} - \frac{4}{5}x $ para diferentes valores de $ k $.