Use as propriedades lineares de séries para:
sumn=1^infty 2^n+3^n6^n-17^n-1 verificar a convergência.

Passo 1

O enunciado pede pra verificar a convergência da série sumn=1^inftyl(2^n+3^n6^n-17^n-1r). O conteúdo aqui é séries infinitas, e vamos usar as propriedades lineares de soma de séries e identificar séries geométricas.

Passo 2

Pela linearidade de séries, podemos separar em três somas: sumn=1^infty2^n6^n+sumn=1^infty3^n6^n-sumn=1^infty17^n-1

Passo 3

A primeira série é sumn=1^infty2^n6^n=sumn=1^infty(tfrac13)^n. Como o razão r=1/3 satisfaz |r|<1, ela converge e sua soma é 1/31-1/3=tfrac12.

Passo 4

A segunda série é sumn=1^infty3^n6^n=sumn=1^infty(tfrac12)^n. Aqui r=1/2, também com |r|<1, logo converge e soma 1/21-1/2=1.

Passo 5

A terceira série é sumn=1^infty17^n-1=sumk=0^infty(tfrac17)^k. Com |1/7|<1, ela converge e soma 11-1/7=tfrac76.

Passo 6

Somando as três partes temos tfrac12+1-tfrac76=tfrac13. Portanto a série original converge (absolutamente) e seu valor é 1/3.

Resposta

A série converge e seu valor é 1/3.

Exercícios relacionados