integral0^pi / 4 sen^2(2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral0^pi / 4 sin^2(2x) , dx. Usaremos conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica para integrar funções trigonométricas ao quadrado. Para isso, precisaremos aplicar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma sin^2(x) em uma expressão mais fácil de integrar:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
No nosso caso, temos sin^2(2x), então substituímos x por 2x:
sin^2(2x) = 1 - cos(4x)2

Passo 3

Agora, substituímos a expressão da sin^2(2x) na integral original:
integral0^pi / 4 sin^2(2x) , dx = integral0^pi / 4 1 - cos(4x)2 , dx
Podemos separar a integral:
= 12 integral0^pi / 4 1 , dx - 12 integral0^pi / 4 cos(4x) , dx

Passo 4

Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeira parte:
12 integral0^pi / 4 1 , dx = 12 [ x ]0^pi / 4 = 12 ( pi4 - 0 ) = pi8
Segunda parte:
12 integral0^pi / 4 cos(4x) , dx = 12 [ sin(4x)4 ]0^pi / 4 = 18 ( sin(pi) - sin(0) ) = 18 (0 - 0) = 0

Resposta

Somando as partes calculadas:
pi8 - 0 = pi8
Portanto, o valor da integral é pi8.

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