Resolva as equações:
\log x=\log \left(\log _{5} 2\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação
\log x=\log\!\big(\log_{5}2\big).
O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão contém \log x, então é necessário que x>0 para que o logaritmo esteja definido.
  • A expressão do lado direito é \log\!\big(\log_{5}2\big), portanto é necessário que \log_{5}2>0 para que esse logaritmo interno seja um argumento válido do log externo.

Passo 2

Verificação das restrições de existência (domínio):
  • Para \log x existir é preciso que x>0.
  • Para \log\!\big(\log_{5}2\big) existir é preciso que \log_{5}2>0.
Agora avaliar \log_{5}2. Como a base 5 é maior que 1 e 2>1, o logaritmo de 2 na base 5 é positivo. Em símbolos:
5>1,\quad 2>1 \quad\Rightarrow\quad \log_{5}2>0.
Logo a condição sobre o argumento do log externo está satisfeita. Portanto a única exigência de domínio que precisamos garantir é x>0.

Passo 3

Propriedade fundamental dos logaritmos (explicação didática):
Seja uma base fixa b com b>0 e b\neq1. A função \log_b(\cdot) é injetora (um‑a‑um): isto é, quando
\log_b A = \log_b B
então obrigatoriamente A=B, desde que A>0 e B>0. Uma maneira simples de ver isso é aplicar a função inversa (exponenciação): elevando b aos dois lados obtemos A=B.
No nosso caso a base do \log em ambos os membros é a mesma (o enunciado usa o mesmo símbolo \log dos dois lados), então podemos usar essa propriedade diretamente.

Passo 4

Aplicando a propriedade de injetividade ao problema:
\log x = \log\!\big(\log_{5}2\big) \quad\Longrightarrow\quad x = \log_{5}2,
desde que x>0 e \log_{5}2>0. Já verificamos que \log_{5}2>0, portanto x=\log_{5}2 é solução válida.

Passo 5

Como comentário prático — cálculo numérico (fórmula de mudança de base):
\log_{5}2 = \frac{\ln 2}{\ln 5}.
Usando aproximações \ln 2\approx 0{,}6931 e \ln 5\approx 1{,}6094, tem-se
\log_{5}2 \approx \frac{0{,}6931}{1{,}6094}\approx 0{,}4307.
Isso é útil se precisar apresentar a resposta em forma decimal na prova; mas a forma exata \log_{5}2 é preferível quando possível.

Passo 6

Dica rápida para questões parecidas na prova:
  1. Sempre verifique o domínio (argumentos de log positivos).
  2. Se tiver \log(\text{algo})=\log(\text{outra coisa}), iguale os argumentos: \text{algo}=\text{outra coisa}.
  3. Se aparecer log dentro de log, verifique se o log interno é positivo antes de prosseguir.
Força aí — você já entendeu o passo a passo para esse tipo de equação!

Resposta

\log_{5}2

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