Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação
O que se pede: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão contém
, então é necessário que para que o logaritmo esteja definido. - A expressão do lado direito é
, portanto é necessário que para que esse logaritmo interno seja um argumento válido do log externo.
Passo 2
Verificação das restrições de existência (domínio):
- Para
existir é preciso que . - Para
existir é preciso que .
Agora avaliar
. Como a base
é maior que
e
, o logaritmo de
na base
é positivo. Em símbolos:
Logo a condição sobre o argumento do log externo está satisfeita. Portanto a única exigência de domínio que precisamos garantir é
.
Passo 3
Propriedade fundamental dos logaritmos (explicação didática):
Seja uma base fixa com
e
. A função
é injetora (um‑a‑um): isto é, quando
Seja uma base fixa
então obrigatoriamente
, desde que
e
. Uma maneira simples de ver isso é aplicar a função inversa (exponenciação): elevando
aos dois lados obtemos
.
No nosso caso a base do
em ambos os membros é a mesma (o enunciado usa o mesmo símbolo
dos dois lados), então podemos usar essa propriedade diretamente.
Passo 4
Aplicando a propriedade de injetividade ao problema:
desde que
e
. Já verificamos que
, portanto
é solução válida.
Passo 5
Como comentário prático — cálculo numérico (fórmula de mudança de base):
Usando aproximações
e
, tem-se
Isso é útil se precisar apresentar a resposta em forma decimal na prova; mas a forma exata
é preferível quando possível.
Passo 6
Dica rápida para questões parecidas na prova:
- Sempre verifique o domínio (argumentos de log positivos).
- Se tiver
, iguale os argumentos: . - Se aparecer log dentro de log, verifique se o log interno é positivo antes de prosseguir.
Força aí — você já entendeu o passo a passo para esse tipo de equação!