Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
\sqrt{15\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para “usar as propriedades de raízes para decompor” a expressão \sqrt{15\left(x^{2}+1\right)}.
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é 15\left(x^{2}+1\right). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Qual propriedade de raízes vamos usar? A propriedade básica de radiciação que permite decompor um produto dentro da raiz é:
\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot\sqrt{B},
válida quando A\ge 0 e B\ge 0. Vou explicar isso de um jeito simples: a raiz quadrada transforma produtos em produtos de raízes quando cada fator é não negativo — por exemplo, \sqrt{4\cdot9}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\cdot3=6.

Passo 3

Verificar a condição de não negatividade para poder aplicar a propriedade. No nosso caso:
15\left(x^{2}+1\right)\ge 0
para todo x, porque 15>0 e x^{2}+1\ge 1>0. Logo a propriedade pode ser aplicada sem problemas.

Passo 4

Aplicando a propriedade com A=15 e B=x^{2}+1, obtemos a decomposição:
\sqrt{15\left(x^{2}+1\right)}=\sqrt{15}\,\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 5

Podemos decompor ainda mais o fator numérico 15 em primos: 15=3\cdot5. Usando a propriedade novamente:
\sqrt{15}=\sqrt{3\cdot5}=\sqrt{3}\,\sqrt{5}.
Combinando com o passo anterior:
\sqrt{15\left(x^{2}+1\right)}=\sqrt{3}\,\sqrt{5}\,\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 6

Observação importante sobre simplificações adicionais: existe a identidade \sqrt{a^{2}}=|a|, mas aqui x^{2}+1 não é um quadrado perfeito do tipo (\text{algo})^{2} simples, então não é possível reduzir \sqrt{x^{2}+1} para uma expressão mais simples envolvendo |x|. Se o número multiplicador tivesse fator quadrado (por exemplo 4 em vez de 15), então seria possível extrair raiz inteira (ex.: \sqrt{4(x^{2}+1)}=2\sqrt{x^{2}+1}). Como 15 não é quadrado perfeito, não há extração inteira adicional.

Resposta

\sqrt{15}\,\sqrt{x^{2}+1}
\sqrt{3}\,\sqrt{5}\,\sqrt{x^{2}+1}

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