Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
\sqrt[3]{\frac{1}{x}}

Passo 1

O que o enunciado pede: decompor a expressão \sqrt[3]{\dfrac{1}{x}} usando propriedades de raízes. Informações dadas: a expressão é exatamente \sqrt[3]{\dfrac{1}{x}}. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Lembra da conexão entre raízes e potências fracionárias. A definição que vamos usar é:
\sqrt[n]{a}=a^{1/n},
onde a é um número (ou expressão) e n é o índice da raiz. Aqui cada símbolo significa:
  • a: o radicando (o que está dentro da raiz);
  • n: o índice da raiz (aqui n=3);
  • a^{1/n}: potência com expoente fracionário equivalente à raiz.

Passo 3

Converta a raiz em potência fracionária aplicando a definição ao radicando \dfrac{1}{x}:
\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}}=\left(\dfrac{1}{x}\right)^{1/3}.

Passo 4

Use a propriedade de potências para quocientes:
\left(\dfrac{a}{b}\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r},
válida quando b\neq0. Aplicando com a=1, b=x e r=\tfrac{1}{3}, obtém-se
\left(\dfrac{1}{x}\right)^{1/3}=\dfrac{1^{1/3}}{x^{1/3}}.

Passo 5

Simplifique o numerador: 1^{1/3}=1. Assim
\dfrac{1^{1/3}}{x^{1/3}}=\dfrac{1}{x^{1/3}}.

Passo 6

Escreva as formas equivalentes mais usuais. Podemos reescrever \dfrac{1}{x^{1/3}} como
\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\qquad\text{ou}\qquad x^{-1/3},
pois \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e x^{-1/3}=\dfrac{1}{x^{1/3}}.

Passo 7

Observação sobre domínio: é necessário x\neq0 porque aparece x no denominador. Como o índice da raiz é 3 (ímpar), a raiz cúbica de números negativos existe nos reais, então valores negativos de x são permitidos (exceto x=0).

Resposta

\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x^{1/3}}
\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}
\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}}=x^{-1/3}

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