Use as propriedades da transformada de Laplace, para mostrar que o problema de valor inicial
t y^prime prime-y^prime=2 t^2, y(0)=0
pode ser reescrito como uma equação linear da forma
Y^prime(s)+P(s) Y(s)=Q(s)
onde Y(s)=Ly(t). Depois multiplique esta equação por psi(s)=e^integral P d s para resolvê-la.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as propriedades da transformada de Laplace para transformar a equação diferencial dada:
t y'' - y' = 2 t^2, y(0)=0
A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar conhecer as regras da transformada de Laplace para derivadas e como lidar com termos que são multiplicados por $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que $ Y(s) = \mathcal{L}{y(t)} $.
Então, aplicando a transformada:
Y(s) = Ly(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo separadamente. Sabemos que:
  1. Transformada de $ y’ $:
    y'
    Como $ y(0) = 0 $, fica:
    Ly' = s Y(s) - y(0)
  2. Transformada de $ t y’’ $:
    Existe uma propriedade que diz que multiplicar por $ t $ no domínio do tempo corresponde a derivar em relação a $ s $ no domínio de Laplace:
    y(0) = 0
    E sabemos que:
    Ly' = s Y(s)
    Como $ y(0) = 0 $, temos:
    t y''
    Vamos supor que $ y’(0) = 0 $ para simplificar (já que não foi fornecido no enunciado), então:
    t
    Assim:
    s
  3. Transformada de $ 2 t^{2} $:
    Sabemos que:
    Lt y'' = -ddsLy''
    Para $ n = 2 $:
    Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 4

Substituindo tudo de volta na equação transformada:
-2s Y(s) - s^2 Y'(s) - s Y(s) = 4s^3
Simplificando os termos de $ Y(s) $:
Y(s)
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $ para facilitar:
- s^2 Y'(s) - 3s Y(s) = 4s^3

Passo 5

Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear:
Y'(s) + 3s Y(s) = -4s^5
Aqui, identificamos $ P(s) = \frac{3}{s} $ e $ Q(s) = -\frac{4}{s^{5}} $, de acordo com a forma:
P(s) = 3s

Passo 6

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \psi(s) $, que é dado por:
psi(s)
Multiplicando toda a equação por $ \psi(s) $:
psi(s) = e^integral P(s) , ds = e^integral 3s , ds = e^3 ln s = s^3

Passo 7

Reescrevendo o lado esquerdo como a derivada do produto $ \psi(s) Y(s) $:
psi(s) Y(s)
Integrando ambos os lados em relação a $ s $:
dds(s^3 Y(s)) = -4s^2
Onde $ C $ é a constante de integração. Para simplificar, assumimos $ C = 0 $ (condição inicial):
s

Passo 8

Finalmente, isolando $ Y(s) $:
Y(s)

Resposta

A solução da equação transformada é:
Y(s) = 4s^4

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