Use as propriedades da transformada de Laplace, para mostrar que o problema de valor inicial
pode ser reescrito como uma equação linear da forma
onde
. Depois multiplique esta equação por
para resolvê-la.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as propriedades da transformada de Laplace para transformar a equação diferencial dada:
A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar conhecer as regras da transformada de Laplace para derivadas e como lidar com termos que são multiplicados por $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que $ Y(s) = \mathcal{L}{y(t)} $.
Então, aplicando a transformada:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo separadamente. Sabemos que:
-
Transformada de $ y’ $:Como $ y(0) = 0 $, fica:
-
Transformada de $ t y’’ $:Existe uma propriedade que diz que multiplicar por $ t $ no domínio do tempo corresponde a derivar em relação a $ s $ no domínio de Laplace:E sabemos que:Como $ y(0) = 0 $, temos:Vamos supor que $ y’(0) = 0 $ para simplificar (já que não foi fornecido no enunciado), então:Assim:
-
Transformada de $ 2 t^{2} $:Sabemos que:Para $ n = 2 $:
Passo 4
Substituindo tudo de volta na equação transformada:
Simplificando os termos de $ Y(s) $:
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $ para facilitar:
Passo 5
Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, identificamos $ P(s) = \frac{3}{s} $ e $ Q(s) = -\frac{4}{s^{5}} $, de acordo com a forma:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \psi(s) $, que é dado por:
Multiplicando toda a equação por $ \psi(s) $:
Passo 7
Reescrevendo o lado esquerdo como a derivada do produto $ \psi(s) Y(s) $:
Integrando ambos os lados em relação a $ s $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Para simplificar, assumimos $ C = 0 $ (condição inicial):
Passo 8
Finalmente, isolando $ Y(s) $:
Resposta
A solução da equação transformada é: