Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
h) y^(4)-y=0, y(0)=y^prime prime(0)=1 e y^prime(0)=y^prime prime prime(0)=0.

Passo 1

A gente tem a EDO de quarta ordem y^(4) - y = 0 com as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=1 e y'''(0)=0. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e a ideia é transformar cada termo da equação, usar as condições iniciais, resolver para Y(s)=Ly(t) e em seguida voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo. Lembrando que
Ly^(4) = s^4 Y(s) - s^3 y(0) - s^2 y'(0) - s y''(0) - y'''(0)
e
Ly = Y(s)
Então a EDO vira
s^4 Y(s) - s^3 y(0) - s^2 y'(0) - s y''(0) - y'''(0) - Y(s) = 0

Passo 3

Substituindo as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=1, y'''(0)=0, obtemos
s^4 Y(s) - s^3 cdot1 - s^2 cdot0 - scdot1 - 0 - Y(s) = 0
ou seja
Y(s)l(s^4 - 1r) = s^3 + s

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s) = s^3 + ss^4 - 1 = s(s^2 + 1)(s^2 +1)(s^2 -1) = s(s-1)(s+1)
Agora fazemos frações parciais:
s(s-1)(s+1) = As-1 + Bs+1,
com
A + B = 1,
A - B = 0Rightarrow A = B = tfrac12
Logo
Y(s) = 12gl(1s-1 + 1s+1gr)

Passo 5

Para voltar ao tempo, usamos transformadas inversas:
y(t) = tfrac12 e^t + tfrac12 e^-t = cosh(t)

Resposta

y(t)=cosh(t)

Exercícios relacionados