Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty n^25^n

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty n^25^n
Como o termo geral envolve crescimento polinomial n^2 dividido por uma exponencial 5^n, uma boa estratégia é usar o teste da razão, que verifica se
L=limntoinfty|an+1an|
é menor, igual ou maior que 1.

Passo 2

Definindo an=n^25^n, calculamos
an+1an =tfrac(n+1)^25^,n+1tfracn^25^,n =(n+1)^25,n^2 =15gl(1+1ngr)^2
Tomando o limite quando ntoinfty, fica
L =limntoinftyan+1an =15cdot1 =15

Passo 3

Como L=tfrac15<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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