Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty n!10^n3^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty n! 10^n3^n
O conteúdo aqui é análise de convergência de séries numéricas, e como os termos envolvem fatorial e potência, o teste da razão de d’Alembert é a escolha mais eficiente.

Passo 2

Definição do teste da razão: para an, calcula-se
L = limntoinfty|an+1an|
Se L<1 a série converge, se L>1 ela diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui
an = n!10^n3^n,
então
an+1an = (n+1)! ,10^n+1/3^n+1n! ,10^n/3^n = (n+1),103
Assim
L = limntoinfty(n+1),103 = infty

Passo 3

Como L=infty>1, pelo teste da razão a série diverge. Além disso, percebe-se que limntoinftyanneq0, o que também garante divergência.

Resposta

A série sumn=1^inftyn!10^n3^n diverge.

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