Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty n^50 e^-n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n^50 e^-n.
Aqui vemos um termo polinomial n^50 multiplicado por um decaimento exponencial e^-n. Para mostrar rigorosamente que o fator exponencial domina o polinômio, vamos usar o teste da razão.

Passo 2

O teste da razão afirma que, para uma série com termos an>0, se
L ;=;limntoinfty an+1an
existe e L<1, então a série sum an converge. Se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos an = n^50 e^-n. Vamos calcular
an+1an = (n+1)^50 e^-(n+1)n^50 e^-n = l(tfracn+1nr)^50;e^-1 = l(1+tfrac1nr)^50,1e

Passo 4

Ao deixar ntoinfty, vale
limntoinfty l(1+tfrac1nr)^50 = 1
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L = 1e
Como tfrac1e<1, concluímos pelo teste da razão que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^50 e^-n converge.

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