Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty raiznn^3+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty raiznn^3+1
Como todos os termos são positivos, podemos usar um teste de comparação com uma série-p, lembrando que uma série da forma sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Para comparar diretamente, note que, para todo n>=1, temos
n^3+1 ;>=; n^3 Longrightarrow raiznn^3+1 ;<=;raiznn^3 ;=;1n^3-tfrac12 ;=;1n^5/2

Passo 3

A série
sumn=1^infty 1n^5/2
é uma série-p com p=tfrac52>1, portanto converge.

Passo 4

Como
0 ;<=;raiznn^3+1;<=;1n^5/2
e a série de termo maior sum1/n^5/2 converge, o teste de comparação direta garante que
sumn=1^infty raiznn^3+1
também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a série-p de expoente 5/2>1.

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