Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty 2+raizn(n+1)^3-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty 2+raizn(n+1)^3-1
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação direta com séries p.

Passo 2

Para n>=1 temos
(n+1)^3-1 = n^3 + 3n^2 + 3n >= n^3,
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0 < 2+raizn(n+1)^3-1 <= 2+raiznn^3 = 2n^3 + 1n^5/2

Passo 3

As séries
sumn=1^infty 2n^3 e sumn=1^infty 1n^5/2
são séries p com p=3>1 e p=tfrac52>1, portanto convergem. Assim, satisfazendo as hipóteses do teste de comparação direta, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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