Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty 2+(-1)^n5^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 2+(-1)^n5^n
O conteúdo principal aqui é série geométrica (incluindo caso alternante), pois cada termo pode ser escrito como combinação de potências com razão fixa.

Passo 2

Note que o termo geral se decompõe em duas séries mais simples:
2+(-1)^n5^n =25^n+(-1)^n5^n =2cdot15^n+l(-15r)^n
Assim, nossa série original é
sumn=1^infty25^n ;+; sumn=1^inftyl(-15r)^n

Passo 3

A primeira parte é
sumn=1^infty25^n =2sumn=1^inftyl(15r)^n
Como l|tfrac15r|<1, sabemos que
sumn=1^inftyr^n=r1-r para |r|<1
Aqui r=tfrac15, logo
sumn=1^inftyl(tfrac15r)^n =tfrac151-tfrac15 =tfrac15tfrac45 =14
Multiplicando por 2, obtemos
sumn=1^infty25^n=2cdot14=12

Passo 4

A segunda parte é a série geométrica alternante
sumn=1^inftyl(-15r)^n,
com razão r=-tfrac15 e |r|=tfrac15<1. Então ela também converge, e sua soma é
sumn=1^inftyr^n =r1-r =-tfrac151-(-tfrac15) =-tfrac15tfrac65 =-16

Passo 5

Como cada parte é convergente, a série original converge e sua soma é
12 + l(-16r) =12-16 =36-16 =26 =13

Resposta

A série converge e seu valor é tfrac13.

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