Considere a curva C interseção do parabolóide z=10-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
ointC y e^z-3 d x+x z^2 d y+e^x y z d z:
(a) Diretamente.
(b) Utilizando o Teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C que é a interseção do parabolóide
z = 10 - x^2 - y^2
com o cilindro
x^2 + y^2 = 1,
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Queremos calcular
ointC y,e^z-3,dx ;+; x,z^2,dy ;+; e^x y z,dz
Este problema pode ser atacado de duas formas:
  • diretamente, parametrizando C como curva no espaço;
  • usando o Teorema de Stokes, escolhendo uma superfície simples que tenha C como contorno.

Passo 2

Cálculo direto por parametrização. Como C é a circunferência de raio 1 em z=9, usamos
x = cos t, y = sin t, z = 9, tin[0,2pi]
Então
dx = -sin t,dt, dy = cos t,dt, dz = 0
Substituindo na integral de linha:
y,e^z-3,dx + x,z^2,dy + e^xyz,dz = sin t,e^9-3(-sin t,dt) + cos tcdot 9^2(cos t,dt) + 0
= -e^6sin^2t,dt +81cos^2t,dt
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ointCcdots = integral0^2pil(-e^6sin^2t +81cos^2tr),dt = -e^6integral0^2pisin^2t,dt +81integral0^2picos^2t,dt
Como integral0^2pisin^2t,dt = integral0^2picos^2t,dt = pi, vem
ointCcdots = -e^6pi +81pi = pi,(81 - e^6)

Passo 3

Cálculo usando o Teorema de Stokes. Note que C está no plano horizontal z=9. Tomamos como superfície S o disco
x^2 + y^2 <= 1, z=9,
com normal n=(0,0,1) (positivo para dar o sentido anti-horário em C). Para o campo
F=(P,Q,R) com
P=y,e^z-3, Q=x,z^2, R=e^xyz,
o rotacional é
l(nablatimesFr)z = partial Qpartial x - partial Ppartial y = z^2 - e^z-3
Em S, temos z=9, então
(nablatimesF)cdotn = 9^2 - e^9-3 = 81 - e^6 constante
Pelo Teorema de Stokes,
ointC Fcdot dr = integral duplaS (nablatimesF)cdotn,dS = (81 - e^6)cdot l(área do disco de raio 1r) = (81 - e^6),pi á

Resposta

pi,(81 - e^6).

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