Considere a curva
interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
(a) Diretamente.
(b) Utilizando o Teorema de Stokes.
(b) Utilizando o Teorema de Stokes.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
que é a interseção do parabolóide
com o cilindro
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Queremos calcular
Este problema pode ser atacado de duas formas:
- diretamente, parametrizando
como curva no espaço; - usando o Teorema de Stokes, escolhendo uma superfície simples que tenha
como contorno.
Passo 2
Cálculo direto por parametrização. Como
é a circunferência de raio 1 em
, usamos
Então
Substituindo na integral de linha:
Logo
Como
, vem
Passo 3
Cálculo usando o Teorema de Stokes. Note que
está no plano horizontal
. Tomamos como superfície
o disco
com normal
(positivo para dar o sentido anti-horário em
). Para o campo
com
o rotacional é
Em
, temos
, então
Pelo Teorema de Stokes,