Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=1^infty 42+3^k k

Passo 1

A série em questão é sumk=1^infty 42+3^kk. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da razão para decidir se ela converge.

Passo 2

Primeiro, definimos o termo geral da série como ak = 42+3^k k. O teste da razão diz que, se L = limktoinfty |ak+1ak| < 1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Vamos então calcular a razão dos termos:
ak+1ak = 42 + 3^k+1(k+1)42 + 3^k k = 2 + 3^k k2 + 3^k+1(k+1) = 2 + 3^k k2 + 3cdot 3^k (k+1)
Para ktoinfty, as parcelas dominantes são 3^k k no numerador e 3^k+1(k+1) no denominador, então
L = limktoinfty 3^k k3cdot 3^k (k+1) = limktoinfty k3(k+1) = 13

Passo 4

Como L = 1/3 < 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge.

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