Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=1^infty k^50 e^-k

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty k^50 e^-k. O conteúdo é séries de termos positivos e, para decidir convergência, vamos usar o teste da razão, que compara ak+1 e ak.

Passo 2

Definimos ak = k^50 e^-k e aplicamos o teste da razão, que diz para calcular o limite L = limktoinfty ak+1ak. Se L<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos o quociente entre termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1)^50 e^-(k+1)k^50 e^-k = (k+1k)^50 e^-1
Agora tomamos o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty (1+1k)^50 e^-1 = 1 cdot e^-1 = 1e < 1

Passo 4

Como o limite do teste da razão é menor que 1, concluímos que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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