Seja uma matriz simétrica, positiva definida, isto é, e , para qualquer não nulo. Por notação, é o vetor coluna e seu transposto. Os métodos numéricos do tipo gradiente para resolver sistemas lineares têm como ideia básica minimizar a função de , dada por:
Para simplificar, quando abrirmos as equações matriciais, o faremos supondo n=2, embora o desenvolvimento seja o mesmo para um número arbitrário de componentes. Por exemplo, para verificar que F(x) é uma função quadrática nas componentes do vetor x, tomamos n=2 na equação (1):
onde foi usada a simetria da matriz A. As curvas de nível da função F(x1, x2) são elipses. Assim, o gráfico de F é um parabolóide eliptíco e esta função tem um único mínimo. O mínimo da função é atingido no ponto que anula o gradiente da função, portanto
Sendo assim, nabla F=(0,0) significa A x=b, isto é, a solução do sistema de equações lineares minimiza a função quadrática e vice-versa. Como sabemos, o vetor gradiente aponta a direção de crescimento máximo da função. Portanto, é natural que, nos passos de busca do mínimo, caminhemos na direção contrária ao gradiente, isto é:
x^(k+1)=x^(k)-sk nabla F(x^(k))
Assim, a aproximação num passo k+1 é calculada a partir da aproximação no passo anterior, caminhando na direção contrária ao gradiente. O parâmetro real sk regula o tamanho do passo na k-ésima iteração. Considerando A=(ll4 & 2 2 & 5) e b=binom-61, faça o que se pede:
d) Utilize a equação (4) para aproximar a solução do sistema utilizando 5 passos. Para tanto, considere x^(0)=(-1,0), s0=s2=0.35 e s1=s3=s4=0.16.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A que é simétrica e positiva definida, junto com um vetor b. A missão é resolver o sistema linear A x = b usando o método do gradiente. Esse método vai nos ajudar a encontrar a solução aproximada passo a passo, minimizando uma função quadrática associada. Vamos precisar calcular o gradiente dessa função e seguir na direção oposta a ele, usando tamanhos de passo específicos em cada iteração.