Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=1^infty k^25^k

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty k^25^k. O conteúdo aqui é convergência de séries de termos positivos e vamos usar o critério da razão, que compara ak+1/ak para decidir se a série converge.

Passo 2

Definindo ak = k^25^k, calculemos a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1)^2 / 5^k+1k^2 / 5^k = (k+1)^25,k^2
Agora tomamos o limite quando k to infty:
limktoinfty (k+1)^25,k^2 = 15 < 1

Passo 3

Como o limite da razão é menor que 1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente. Portanto a série sumk=1^infty k^25^k converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo critério da razão).

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