Use qualquer método para determinar se a série converge.
sumk=1^infty 12 k+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumk=1^infty12k+1. Estamos no tema séries de termos positivos, e vamos usar o teste da comparação de limites com a série harmônica, que é bem conhecida.

Passo 2

No teste da comparação de limites, comparamos nosso termo ak=1/(2k+1) ao termo bk=1/k da série harmônica. Calculamos
limktoinftyakbk=limktoinfty1/(2k+1)1/k=limktoinftyk2k+1=12

Passo 3

Como esse limite é um número real positivo diferente de zero, a série sum ak tem o mesmo comportamento de convergência que sum bk.
É sabido que a série harmônica sumk=1^infty1k diverge. Portanto, pela comparação de limites, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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