Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Temos a série alternada
e queremos aplicar o Teste da Razão para verificar convergência absoluta. Vamos estudar o comportamento do termo geral em valor absoluto.
Passo 2
Definimos o termo em valor absoluto
Observe que o denominador é o produto de termos da forma
(3k+2) para
k=1,2,dots,n .
Passo 3
Agora calculamos a razão entre termos consecutivos:
Simplificando fatores semelhantes, obtemos
Passo 4
Tomamos o limite dessa razão quando
ntoinfty :
Como o limite é menor que 1, a série converge absolutamente pelo Teste da Razão.
Passo 5
Portanto, a série original converge (na verdade, converge absolutamente) já que no teste da razão obtivemos
L=2/3<1 .
Resposta
A série converge absolutamente (e, portanto, converge) pelo Teste da Razão, pois o limite da razão é
2/3<1 .