Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n 2^n n!5 cdot 8 cdot 11 cdots cdot(3 n+2)

Passo 1

Temos a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n2^nn!5cdot8cdot11cdots(3n+2)
e queremos aplicar o Teste da Razão para verificar convergência absoluta. Vamos estudar o comportamento do termo geral em valor absoluto.

Passo 2

Definimos o termo em valor absoluto
an=|(-1)^n2^nn!5cdot8cdot11cdots(3n+2)|=2^nn!prodk=1^n(3k+2)
Observe que o denominador é o produto de termos da forma (3k+2) para k=1,2,dots,n.

Passo 3

Agora calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an=2^n+1(n+1)!prodk=1^n+1(3k+2)cdotprodk=1^n(3k+2)2^nn!
Simplificando fatores semelhantes, obtemos
an+1an=2,(n+1);/;(3(n+1)+2)=2(n+1)3n+5

Passo 4

Tomamos o limite dessa razão quando ntoinfty:
L=limntoinfty2(n+1)3n+5=23<1
Como o limite é menor que 1, a série converge absolutamente pelo Teste da Razão.

Passo 5

Portanto, a série original converge (na verdade, converge absolutamente) já que no teste da razão obtivemos L=2/3<1.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge) pelo Teste da Razão, pois o limite da razão é 2/3<1.

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