Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, que são ferramentas matemáticas que ajudam a gente a saber se a soma infinita de termos vai dar um resultado finito (convergente) ou sem fim (divergente).
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o termo geral da série se comporta quando $ n $ fica bem grande. O termo é
. Sabemos que quando $ x $ é bem pequeno,
. Então, para $ n $ grande,
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com a série harmônica, que é
. A série harmônica é conhecida por ser divergente, ou seja, ela não soma para um valor finito.
Passo 4
Vamos usar o Teste de Comparação. Esse teste funciona assim: se a nossa série
tem termos $ a_n $ que são maiores ou iguais aos termos de uma série divergente, então a nossa série também diverge.
No nosso caso, para $ n $ suficientemente grande,
. Como a série
diverge, pelo Teste de Comparação, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.