Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
(g) sumn=1^infty tg(1 / n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série sumn=1^infty tan(1n) é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, que são ferramentas matemáticas que ajudam a gente a saber se a soma infinita de termos vai dar um resultado finito (convergente) ou sem fim (divergente).

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o termo geral da série se comporta quando $ n $ fica bem grande. O termo é n . Sabemos que quando $ x $ é bem pequeno, tan(1n). Então, para $ n $ grande, x .

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série harmônica, que é sumn=1^infty 1n. A série harmônica é conhecida por ser divergente, ou seja, ela não soma para um valor finito.

Passo 4

Vamos usar o Teste de Comparação. Esse teste funciona assim: se a nossa série sum an tem termos $ a_n $ que são maiores ou iguais aos termos de uma série divergente, então a nossa série também diverge.
No nosso caso, para $ n $ suficientemente grande, an . Como a série n diverge, pelo Teste de Comparação, a série tan(1n) >= 1n também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty tan(1n) diverge.

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