Use a razão an+1 / an para mostrar que a sequência an dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
5^n2^(n^2)n=1^+infty

Passo 1

Temos a sequência an = 5^n2^n^2. O conteúdo aqui é monotonicidade via razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Calculamos a razão an+1an. Substituindo an+1=5^n+12^(n+1)^2 e an=5^n2^n^2 aparece

Passo 3

Fazendo as contas, obtemos
an+1an =5^n+12^(n+1)^2cdot2^n^25^n =5cdot2^n^2-(n+1)^2 =5cdot2^-2n-1 =52^2n+1
Como n>=1 implica 2n+1>=3 e então 2^2n+1>=8, concluímos que 52^2n+1<1.

Passo 4

Pelo critério da razão, como an+1an<1 para todo n>=1, a sequência an é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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