Calcule o limite ou determine se ele não existe:
.
Passo 1
Estamos lidando com o limite de uma função de duas variáveis:
Calcular . O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar testar diferentes caminhos de aproximação e fatorar a expressão.
Calcular
Passo 2
Primeiro fatoramos numerador e denominador para ver melhor a estrutura. Temos:
$$
\frac{x{3}+x{2}y}{y^{2}-xy}
\frac{x^{2}(x+y)}{y(y - x)}
$$
Passo 3
Para verificar se o limite existe de fato, escolhemos o caminho reto
com
. Substituindo:
$$
\frac{x^{2}(x+kx)}{(kx)(kx - x)}
\frac{x{2},x(1+k)}{x{2}(k^{2}-k)}
\frac{x(1+k)}{k(k-1)}
$$
À medida que , essa expressão tende a
para qualquer
.
À medida que
Passo 4
Agora escolhemos outro caminho, por exemplo
. Substituindo na fatoração:
$$
\frac{x{2}(x+x{2})}{(x{2})(x{2}-x)}
\frac{x{2},x(1+x)}{x{2}(x-1)}
\frac{x(1+x)}{x-1}
$$
Quando , isso tende a
, diferente de
.
Quando
Passo 5
Como obtivemos valores diferentes (
e
) ao mudar o caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.