Calcule o limite ou determine se ele não existe:
lim (x, y) (0,0) x^3+x^2 yy^2-x y.

Passo 1

Estamos lidando com o limite de uma função de duas variáveis:
Calcular lim(x,y)to(0,0) x^3+x^2yy^2-xy. O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar testar diferentes caminhos de aproximação e fatorar a expressão.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador para ver melhor a estrutura. Temos:
$$
\frac{x{3}+x{2}y}{y^{2}-xy}

\frac{x^{2}(x+y)}{y(y - x)}
$$

Passo 3

Para verificar se o limite existe de fato, escolhemos o caminho reto y=kx com kneq0,1. Substituindo:
$$
\frac{x^{2}(x+kx)}{(kx)(kx - x)}

\frac{x{2},x(1+k)}{x{2}(k^{2}-k)}

\frac{x(1+k)}{k(k-1)}
$$
À medida que x^2(x+kx)(kx)(kx - x) = x^2,x(1+k)x^2(k^2-k) = x(1+k)k(k-1) , essa expressão tende a xto0 para qualquer 0.

Passo 4

Agora escolhemos outro caminho, por exemplo y=x^2. Substituindo na fatoração:
$$
\frac{x{2}(x+x{2})}{(x{2})(x{2}-x)}

\frac{x{2},x(1+x)}{x{2}(x-1)}

\frac{x(1+x)}{x-1}
$$
Quando x^2(x+x^2)(x^2)(x^2-x) = x^2,x(1+x)x^2(x-1) = x(1+x)x-1 , isso tende a xto0, diferente de -1.

Passo 5

Como obtivemos valores diferentes ( 0 e -1) ao mudar o caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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