- Diga se cada uma das armações a seguir é verdadeira ou falsa (justifique sua resposta):
a) três retas, duas a duas paralelas, determinam três planos;
b) se uma reta corta uma de duas retas paralelas, então corta também a outra;
c) se
e
são reversas com
, então
e
são reversas entre si;
d) se uma reta é reversa com uma de duas retas paralelas, então é reversa também com a outra.
a) três retas, duas a duas paralelas, determinam três planos;
b) se uma reta corta uma de duas retas paralelas, então corta também a outra;
c) se
d) se uma reta é reversa com uma de duas retas paralelas, então é reversa também com a outra.
Passo 1
O enunciado está falando de retas no espaço e quer ver se certas afirmações sobre paralelismo e revesamento (“reversas” = retas não coplanares e sem ponto em comum) são verdadeiras ou falsas. Precisamos lembrar que
– duas retas são paralelas se estão no mesmo plano e não se intersectam;
– duas retas são reversas (skew) se não estão no mesmo plano e tampouco se intersectam.
– duas retas são paralelas se estão no mesmo plano e não se intersectam;
– duas retas são reversas (skew) se não estão no mesmo plano e tampouco se intersectam.
Passo 2
(a) “Três retas, duas a duas paralelas, determinam três planos.”
Sejam ,
e
tais que
,
e
. Como
e
são paralelas, existe um plano
que as contém. Mas
e, por definição de paralelismo,
também está em
. Logo, todas três retas estão num mesmo plano e não em três. Portanto a) é falsa.
Sejam
Passo 3
(b) “Se uma reta corta uma de duas retas paralelas, então corta também a outra.”
Considere retas e uma reta
que intersecta
num ponto
. Essa interseção fixa apenas um ponto, não obriga
a ficar no plano que contém
e
. De fato,
pode passar por
mas sair desse plano, ficando skew com
e não intersectando
. Logo b) é falsa.
Considere retas
Passo 4
(c) “Se
e
são reversas com
, então
e
são reversas entre si.”
e
serem reversas significa que não se intersectam e não são coplanares; o mesmo para
e
. Mas
e
podem muito bem estar num mesmo plano e até se intersectar. Por exemplo, escolhemos
e
no plano
que se cruzam, e
no eixo
. Então c) é falsa.
Passo 5
(d) “Se uma reta é reversa com uma de duas retas paralelas, então é reversa também com a outra.”
Se e uma reta
é reversa com
, então
não está no plano de
e não o intersecta. Mas pode acontecer que
interseccione
(por exemplo, cruza esse plano num ponto de
). Nesse caso
não seria reversa com
. Logo d) é falsa.
Se
Resposta
a) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Falsa