1. Diga se cada uma das armações a seguir é verdadeira ou falsa (justifique sua resposta):
    a) três retas, duas a duas paralelas, determinam três planos;
    b) se uma reta corta uma de duas retas paralelas, então corta também a outra;
    c) se r e s são reversas com t, então r e s são reversas entre si;
    d) se uma reta é reversa com uma de duas retas paralelas, então é reversa também com a outra.

Passo 1

O enunciado está falando de retas no espaço e quer ver se certas afirmações sobre paralelismo e revesamento (“reversas” = retas não coplanares e sem ponto em comum) são verdadeiras ou falsas. Precisamos lembrar que
– duas retas são paralelas se estão no mesmo plano e não se intersectam;
– duas retas são reversas (skew) se não estão no mesmo plano e tampouco se intersectam.

Passo 2

(a) “Três retas, duas a duas paralelas, determinam três planos.”
Sejam r, s e t tais que rparal<=ls, rparal<=lt e sparal<=lt. Como r e s são paralelas, existe um plano P que as contém. Mas tparal<=lr e, por definição de paralelismo, t também está em P. Logo, todas três retas estão num mesmo plano e não em três. Portanto a) é falsa.

Passo 3

(b) “Se uma reta corta uma de duas retas paralelas, então corta também a outra.”
Considere retas aparal<=lb e uma reta ell que intersecta a num ponto A. Essa interseção fixa apenas um ponto, não obriga ell a ficar no plano que contém a e b. De fato, ell pode passar por A mas sair desse plano, ficando skew com b e não intersectando b. Logo b) é falsa.

Passo 4

(c) “Se r e s são reversas com t, então r e s são reversas entre si.”
r e t serem reversas significa que não se intersectam e não são coplanares; o mesmo para s e t. Mas r e s podem muito bem estar num mesmo plano e até se intersectar. Por exemplo, escolhemos r e s no plano z=1 que se cruzam, e t no eixo z. Então c) é falsa.

Passo 5

(d) “Se uma reta é reversa com uma de duas retas paralelas, então é reversa também com a outra.”
Se aparal<=lb e uma reta ell é reversa com a, então ell não está no plano de a e não o intersecta. Mas pode acontecer que ell interseccione b (por exemplo, cruza esse plano num ponto de b). Nesse caso ell não seria reversa com b. Logo d) é falsa.

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Falsa

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