A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=t^3, sabendo que A é uma matriz 7 times 7

Passo 1

O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan, a menos de ordenamento dos blocos, de uma matriz complexa A de tamanho 7times7 cujo polinômio mínimo é
m(t)=t^3
Isso significa que A é nilpotente e que o maior bloco de Jordan tem ordem 3.

Passo 2

Em geral, para uma matriz nilpotente a forma canônica de Jordan é dada por blocos Jk(0) de tamanho k (todos com valor próprio 0).
O polinômio mínimo sendo t^3 implica que o maior bloco tem k=3, e não há blocos de tamanho maior que 3.

Passo 3

Como A é 7times7, os tamanhos dos blocos devem somar 7. Devem ser escolhidos blocos de tamanho 1, 2 ou 3, com pelo menos um bloco de tamanho 3.
As partições de 7 que usam apenas 1,2,3 e contêm ao menos um 3 são:
3+3+1, 3+2+2, 3+2+1+1, 3+1+1+1+1

Passo 4

Convertendo cada partição em uma forma de Jordan (cada soma representa os tamanhos dos blocos Jk(0)), obtemos as quatro opções, a menos de permutação dos blocos:
&J3(0)oplus J3(0)oplus J1(0), &J3(0)oplus J2(0)oplus J2(0), &J3(0)oplus J2(0)oplus J1(0)oplus J1(0), &J3(0)oplus J1(0)oplus J1(0)oplus J1(0)oplus J1(0)

Resposta

As formas canônicas de Jordan são, up to ordering dos blocos:
J3(0)oplus J3(0)oplus J1(0),
J3(0)oplus J2(0)oplus J2(0),
J3(0)oplus J2(0)oplus J1(0)oplus J1(0),
J3(0)oplus J1(0)oplus J1(0)oplus J1(0)oplus J1(0)

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