A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é
, sabendo que A é uma matriz
Passo 1
O enunciado pede todas as formas canônicas de Jordan, a menos de ordenamento dos blocos, de uma matriz complexa
de tamanho
cujo polinômio mínimo é
Isso significa que
é nilpotente e que o maior bloco de Jordan tem ordem
.
Passo 2
Em geral, para uma matriz nilpotente a forma canônica de Jordan é dada por blocos
de tamanho
(todos com valor próprio
).
O polinômio mínimo sendo implica que o maior bloco tem
, e não há blocos de tamanho maior que
.
O polinômio mínimo sendo
Passo 3
Como
é
, os tamanhos dos blocos devem somar
. Devem ser escolhidos blocos de tamanho
,
ou
, com pelo menos um bloco de tamanho
.
As partições de que usam apenas
e contêm ao menos um
são:
As partições de
Passo 4
Convertendo cada partição em uma forma de Jordan (cada soma representa os tamanhos dos blocos
), obtemos as quatro opções, a menos de permutação dos blocos:
Resposta
As formas canônicas de Jordan são, up to ordering dos blocos: