Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
A questão é sobre a função quadrática f(x)=3x²+5x-4: precisamos achar as raízes de f(x)=0 usando completar quadrados, esboçar seu gráfico (vértice, concavidade e interceptos) e, por fim, obter a inversa de f(x), restringindo domínio e contradomínio para que fique bijetora.
Passo 2
Para completar o quadrado, lembre que queremos escrever f(x) na forma a(x–h)²+k. Começamos fatorando o 3 em comum: f(x)=3(x²+(5/3)x)–4. Dentro do parêntese, somamos e subtraímos (5/6)²=25/36:
Agora agrupamos o quadrado perfeito e simplificamos:
Passo 3
Com a forma canônica em mãos, f(x)=3(x+5/6)²–73/12, igualamos a zero para achar as raízes:
Passo 4
O esboço do gráfico de y=f(x) é uma parábola que abre para cima (a=3>0), com vértice em
interceptos em x={(-5±√73)}/6 e y=f(0)=–4, e eixo de simetria x=–5/6.
Passo 5
Para achar a inversa, observamos que f não é injetora em ℝ, mas se restringirmos o domínio para x≥–5/6 (ramo à direita do vértice), f é bijetora de [–5/6,∞) em [–73/12,∞). Seja y=f(x); resolvemos:
Usando fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Para o ramo x≥–5/6 escolhemos o sinal “+”. Assim:
o que nos dá a inversa desejada.
Resposta
As raízes de f(x)=0 são x = \frac{-5\pm\sqrt{73}}6. O vértice é (-5/6,-73/12) e o gráfico é uma parábola que abre para cima com eixo x=-5/6. Restringindo o domínio a [–5/6,∞) e o contradomínio a [–73/12,∞), a inversa é