Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=3 x^2+5 x-4

Passo 1

A questão é sobre a função quadrática f(x)=3x²+5x-4: precisamos achar as raízes de f(x)=0 usando completar quadrados, esboçar seu gráfico (vértice, concavidade e interceptos) e, por fim, obter a inversa de f(x), restringindo domínio e contradomínio para que fique bijetora.

Passo 2

Para completar o quadrado, lembre que queremos escrever f(x) na forma a(x–h)²+k. Começamos fatorando o 3 em comum: f(x)=3(x²+(5/3)x)–4. Dentro do parêntese, somamos e subtraímos (5/6)²=25/36:
f(x)=3l(x^2+tfrac53x+tfrac2536-tfrac2536r)-4
Agora agrupamos o quadrado perfeito e simplificamos:
f(x)=3l((x+tfrac56)^2-tfrac2536r)-4=3(x+tfrac56)^2-tfrac2512-4=3(x+tfrac56)^2-tfrac7312

Passo 3

Com a forma canônica em mãos, f(x)=3(x+5/6)²–73/12, igualamos a zero para achar as raízes:
3(x+tfrac56)^2-tfrac7312=0Longrightarrow(x+tfrac56)^2=tfrac7336Longrightarrow x=-tfrac56pmtfracraiz736

Passo 4

O esboço do gráfico de y=f(x) é uma parábola que abre para cima (a=3>0), com vértice em
l(h,kr)=l(-tfrac56,-tfrac7312r),
interceptos em x={(-5±√73)}/6 e y=f(0)=–4, e eixo de simetria x=–5/6.

Passo 5

Para achar a inversa, observamos que f não é injetora em ℝ, mas se restringirmos o domínio para x≥–5/6 (ramo à direita do vértice), f é bijetora de [–5/6,∞) em [–73/12,∞). Seja y=f(x); resolvemos:
y=3x^2+5x-4Longrightarrow3x^2+5x-(y+4)=0
Usando fórmula de Bhaskara:
x=-5pmraiz25+12(y+4)6=-5pmraiz12y+736

Passo 6

Para o ramo x≥–5/6 escolhemos o sinal “+”. Assim:
f^-1(y)=-5+raiz12y+736, y>= -tfrac7312,
o que nos dá a inversa desejada.

Resposta

As raízes de f(x)=0 são x = \frac{-5\pm\sqrt{73}}6. O vértice é (-5/6,-73/12) e o gráfico é uma parábola que abre para cima com eixo x=-5/6. Restringindo o domínio a [–5/6,∞) e o contradomínio a [–73/12,∞), a inversa é
f^-1(y)=-5+raiz12y+736

Exercícios relacionados