Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 usando completar quadrados, esboçar o gráfico de y=f(x) e determinar a função inversa, restringindo domínio/contradomínio se necessário.
Passo 2
Reescrevo f(x) em forma canônica. Primeiro f(x)=8x−x²+3, isto é f(x)=−x²+8x+3. Faturo −1 e completo o quadrado: f(x)=−(x²−8x)+3. Como x²−8x=(x−4)²−16, tenho:
Dessa forma o vértice é (4,19) e, por ter coeficiente negativo em −(x−4)², a parábola abre para baixo.
Passo 3
Para achar as raízes, imposto f(x)=0 na forma canônica:
Passo 4
Para esboçar y=f(x), marco o vértice em (4,19), as raízes em x=4±√19 (aprox. x≈−0{,}36 e x≈8{,}36) e o intercepto em y=f(0)=3. Desenho uma parábola simétrica em torno da reta x=4, com ponto máximo em (4,19) e abrindo para baixo.
Passo 5
Para obter a inversa, resolvo y=-(x-4)^2+19. Assim:
Como há dois sinais, restringimos o domínio para ter bijeção: no ramo x\le4 (onde f é crescente) usamos o sinal −, e no ramo x\ge4 (onde f é decrescente) usamos o sinal +.
Passo 6
Portanto, no ramo x\le4 temos:
e no ramo x\ge4:
Resposta
As raízes da equação f(x)=0 são x=4±√19. O gráfico de y=f(x) é uma parábola com vértice em (4,19), eixo de simetria x=4 e concavidade para baixo. Para tornar f invertível restringimos o domínio a x≤4 ou a x≥4. No ramo x≤4 a inversa é
e no ramo x≥4 a inversa é