Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=8 x-x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 usando completar quadrados, esboçar o gráfico de y=f(x) e determinar a função inversa, restringindo domínio/contradomínio se necessário.

Passo 2

Reescrevo f(x) em forma canônica. Primeiro f(x)=8x−x²+3, isto é f(x)=−x²+8x+3. Faturo −1 e completo o quadrado: f(x)=−(x²−8x)+3. Como x²−8x=(x−4)²−16, tenho:
f(x)= -l((x-4)^2 -16r) +3 = -(x-4)^2 +16 +3 = -(x-4)^2 +19
Dessa forma o vértice é (4,19) e, por ter coeficiente negativo em −(x−4)², a parábola abre para baixo.

Passo 3

Para achar as raízes, imposto f(x)=0 na forma canônica:
-(x-4)^2 +19 = 0 [3pt] (x-4)^2 = 19 [3pt] x-4 = pmraiz19 [3pt] x = 4 pm raiz19

Passo 4

Para esboçar y=f(x), marco o vértice em (4,19), as raízes em x=4±√19 (aprox. x≈−0{,}36 e x≈8{,}36) e o intercepto em y=f(0)=3. Desenho uma parábola simétrica em torno da reta x=4, com ponto máximo em (4,19) e abrindo para baixo.

Passo 5

Para obter a inversa, resolvo y=-(x-4)^2+19. Assim:
(x-4)^2 = 19 - y [3pt] x - 4 = pmraiz19-y [3pt] x = 4 pm raiz19-y
Como há dois sinais, restringimos o domínio para ter bijeção: no ramo x\le4 (onde f é crescente) usamos o sinal −, e no ramo x\ge4 (onde f é decrescente) usamos o sinal +.

Passo 6

Portanto, no ramo x\le4 temos:
f^-1(y) = 4 - raiz19 - y, y <= 19,
e no ramo x\ge4:
f^-1(y) = 4 + raiz19 - y, y <= 19

Resposta

As raízes da equação f(x)=0 são x=4±√19. O gráfico de y=f(x) é uma parábola com vértice em (4,19), eixo de simetria x=4 e concavidade para baixo. Para tornar f invertível restringimos o domínio a x≤4 ou a x≥4. No ramo x≤4 a inversa é
f^-1(y)=4-raiz19-y, y<=19,
e no ramo x≥4 a inversa é
f^-1(y)=4+raiz19-y, y<=19

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