Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=10-16 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação f(x)=0 usando completar quadrados, esboçar o gráfico da parábola y=f(x) e determinar a inversa de f(x), restringindo domínio e contradomínio se necessário.

Passo 2

Escrevemos f(x)=10−16x−x² e reescrevemos como f(x)=−x²−16x+10. Para preparar o completar quadrado, fatoramos −1 nos dois primeiros termos: f(x)=−(x²+16x)+10.

Passo 3

Completamos o quadrado em x²+16x: temos x²+16x=(x+8)²−64. Substituindo em f(x) obtém-se f(x)=−[(x+8)²−64]+10=−(x+8)²+64+10=74−(x+8)².

Passo 4

Para achar as raízes, resolvemos f(x)=0: 74−(x+8)²=0 ⇒ (x+8)²=74 ⇒ x+8=±√74 ⇒ x=−8±√74.

Passo 5

O gráfico de y=f(x) é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x² negativo), vértice em (−8,74) e interceptações no eixo x em x=−8±√74.

Passo 6

Para obter a inversa, escrevemos y=74−(x+8)² e isolamos x: (x+8)²=74−y ⇒ x+8=±√(74−y) ⇒ x=−8±√(74−y). Como só podemos usar um dos sinais para garantir função inversa, restringimos o domínio original a x≤−8 (ramo decrescente), o que corresponde a escolher x=−8−√(74−y). Assim
f⁻¹(y)=−8−√(74−y), com domínio de f⁻¹ dado por y≤74 e imagem em x≤−8.

Resposta

As raízes são x=−8±√74. O gráfico é uma parábola voltada para baixo com vértice em (−8,74). Uma inversa bijetora obtida ao restringir o domínio a (−∞,−8] é
f⁻¹(y)=−8−√(74−y),
domínio de f⁻¹: (−∞,74] e contradomínio: (−∞,−8].

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