Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine
valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz o Teorema de Rolle em
e, em caso afirmativo, encontrar os pontos
tais que
. Vamos usar os conceitos de continuidade, diferenciabilidade e derivação de funções compostas e trigonométricas.
Passo 2
Notamos que
é composta pela função polinomial
e pelo cosseno. Como ambas são contínuas em
e o cosseno é diferenciável em
, segue que
é contínua em
e diferenciável em
.
Passo 3
Calculamos os valores de
nos extremos do intervalo:
e
. Como
, as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.
Passo 4
Derivamos
. Seja
. Então
e, pela regra da cadeia, temos:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
. Obtemos duas possibilidades:
-
implica para . Nesse caso não há soluções em além dos extremos. -
implica , que está no interior de .
Passo 6
Pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos um
tal que
e a única solução viável no interior é
.