2^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema de Rolle, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
[0, pi] em

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função g(x)=cos(x^2-pi x) satisfaz o Teorema de Rolle em [0,pi] e, em caso afirmativo, encontrar os pontos cin(0,pi) tais que g'(c)=0. Vamos usar os conceitos de continuidade, diferenciabilidade e derivação de funções compostas e trigonométricas.

Passo 2

Notamos que g é composta pela função polinomial x^2-pi x e pelo cosseno. Como ambas são contínuas em R e o cosseno é diferenciável em R, segue que g é contínua em [0,pi] e diferenciável em (0,pi).

Passo 3

Calculamos os valores de g nos extremos do intervalo: g(0)=cos(0^2-picdot0)=cos(0)=1 e g(pi)=cos(pi^2-pi^2)=cos(0)=1. Como g(0)=g(pi), as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.

Passo 4

Derivamos g. Seja u(x)=x^2-pi x. Então g(x)=cos(u(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
g'(x)=-sin(x^2-pi x)cdot(2x-pi)

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos g'(x)=0. Obtemos duas possibilidades:
  • sin(x^2-pi x)=0 implica x^2-pi x=kpi para kinZ. Nesse caso não há soluções em (0,pi) além dos extremos.
  • 2x-pi=0 implica x=pi2, que está no interior de (0,pi).

Passo 6

Pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos um cin(0,pi) tal que g'(c)=0 e a única solução viável no interior é x=pi2.

Resposta

c=pi2

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