Seja a função
Determine as derivadas parciais f(x, y)=ccc(x^2+y^2) sin 1x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0);

Passo 1

Nesta questão, temos a função f(x,y) definida por partes: para (x,y)≠(0,0), f(x,y)= (x²+y²)·sin(1/(x²+y²)), e f(0,0)=0. O conteúdo principal é derivada parcial em funções de duas variáveis, usando regra da cadeia e definição de derivada parcial no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0), introduzimos u = x²+y², de modo que f(x,y) = u·sin(1/u). Primeiro, calculamos a derivada de f em relação a u usando derivação de produto e cadeia.
Derivando f(u) = u·sin(1/u) em relação a u, temos
ddul(usin(1/u)r) = sin(1/u) + ucdot cos(1/u)cdot l(-1/u^2r) = sin(1/u) - 1ucos(1/u)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais: como ∂u/∂x = 2x e ∂u/∂y = 2y, segue que
partial fpartial x(x,y) = 2xl(sin1u - 1ucos1ur),partial fpartial y(x,y) = 2yl(sin1u - 1ucos1ur), onde lembramos que u = x²+y².

Passo 4

Para o ponto (0,0), usamos definição de derivada parcial:
partial fpartial x(0,0) = limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto0h^2sin(1/h^2)h = limhto0 hsin(1/h^2) = 0 De modo análogo,
partial fpartial y(0,0) = limkto0f(0,k)k = limkto0 ksin(1/k^2) = 0

Resposta

As derivadas parciais são dadas por
Para (x,y)≠(0,0):
partial fpartial x(x,y) = 2xl(sin1x^2+y^2 - 1x^2+y^2cos1x^2+y^2r),
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2y\Bigl(\sin\frac{1}{x2+y2} - \frac{1}{x2+y2}\cos\frac{1}{x2+y2}\Bigr).
$$
Para (x,y)=(0,0):
partial fpartial y(x,y) = 2yl(sin1x^2+y^2 - 1x^2+y^2cos1x^2+y^2r)

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