Seja a função
Determine as derivadas parciais
;
Determine as derivadas parciais
Passo 1
Nesta questão, temos a função f(x,y) definida por partes: para (x,y)≠(0,0), f(x,y)= (x²+y²)·sin(1/(x²+y²)), e f(0,0)=0. O conteúdo principal é derivada parcial em funções de duas variáveis, usando regra da cadeia e definição de derivada parcial no ponto (0,0).
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0), introduzimos u = x²+y², de modo que f(x,y) = u·sin(1/u). Primeiro, calculamos a derivada de f em relação a u usando derivação de produto e cadeia.
Derivando f(u) = u·sin(1/u) em relação a u, temos
Derivando f(u) = u·sin(1/u) em relação a u, temos
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais: como ∂u/∂x = 2x e ∂u/∂y = 2y, segue que
Passo 4
Para o ponto (0,0), usamos definição de derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais são dadas por
Para (x,y)≠(0,0):
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2y\Bigl(\sin\frac{1}{x2+y2} - \frac{1}{x2+y2}\cos\frac{1}{x2+y2}\Bigr).
$$
Para (x,y)=(0,0):