Use um recurso gráfico para gerar a trajetória de um aviãozinho de papel cujas equações do movimento para t \geq 0 são
x=t-2 \operatorname{sen} t, \quad y=3-2 \cos t
Supondo que o avião voe em uma sala na qual o chão está em y=0, qual deve ser a altura do forro da sala para garantir que o avião não toque ou se arrebente nele?

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas do movimento do aviãozinho (para t\ge 0) e pede para gerar graficamente a trajetória e determinar a altura do forro da sala para que o avião não a toque. Informações e pedidos explicitados:
  • Equações do movimento:
x = t - 2\sin t,\qquad y = 3 - 2\cos t.
  • Domínio do tempo: t\ge 0.
  • O chão da sala está em y=0.
  • Pergunta principal: qual deve ser a altura do forro (valor de y do teto) para garantir que o avião não toque ou se arrebente nele?
  • Também foi pedido “usar um recurso gráfico” para gerar a trajetória (vou mostrar como fazer o gráfico passo a passo).

Passo 2

Entendendo o que fazer graficamente (sem pular etapas).
  • Uma curva paramétrica é o conjunto de pontos \big(x(t),y(t)\big) à medida que t varia. Para visualizar, escolhe-se um intervalo de t razoável (por exemplo, 0\le t\le 4\pi mostra várias oscilações) e plota-se os pares \big(x(t),y(t)\big).
  • Recurso gráfico sugerido (duas opções simples):
    1. Desmos/GeoGebra: entrar em modo curva paramétrica e digitar (t-2\sin t,\;3-2\cos t) com t variando, por exemplo, de 0 a 4\pi.
    2. Python + Matplotlib (exemplo de código que pode colar e executar):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 4*np.pi, 1000)   # intervalo de t
x = t - 2*np.sin(t)
y = 3 - 2*np.cos(t)

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(x,y, '-b')
plt.axhline(0, color='k', linestyle='--')   # chão y=0
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Trajetória paramétrica do aviãozinho')
plt.grid(True)
plt.ylim(-1, 6)   # ajuste para ver teto e chão
plt.show()
  • Observação prática: esse gráfico mostra a forma da trajetória e permite visualizar a altura máxima alcançada pelo avião.

Passo 3

Encontrando a altura máxima de forma analítica (aqui aprendo a fazer na prova, sem depender só do gráfico).
  • Só precisamos da componente vertical y(t)=3-2\cos t. Para saber se a curva bate no teto, é suficiente encontrar o valor máximo de y(t) para t\ge 0.
  • Propriedade trigonométrica essencial (explicação): a função cosseno tem valores entre -1 e 1, isto é
-1 \le \cos t \le 1 \quad\text{para todo } t.
  • Usando isso em y(t)=3-2\cos t, obtemos intervalos para y:
y_{\min} = 3 - 2\cdot(1) = 1, \qquad y_{\max} = 3 - 2\cdot(-1) = 5.
Logo, y(t) varia entre 1 e 5. Em palavras: o aviãozinho nunca fica mais baixo que y=1 e nunca mais alto que y=5.
  • (Se quiser confirmar com derivadas — método da prova)
    • Calcule a derivada: \displaystyle y'(t)=2\sin t.
    • Zeros críticos: \sin t=0\Rightarrow t=k\pi ( k inteiro, e com k\ge 0 no nosso domínio).
    • Avaliando y em t=k\pi: para k par, \cos t=1\Rightarrow y=1 (mínimo); para k ímpar, \cos t=-1\Rightarrow y=5 (máximo). A segunda derivada \displaystyle y''(t)=2\cos t confirma a natureza (em máximos y''<0, em mínimos y''>0).
  • Resultado chave (usável direto na prova): o valor máximo de y alcançado é \displaystyle 5.

Passo 4

Interpretação física e resposta prática.
  • O chão está em y=0 e vimos que o avião nunca desce abaixo de y=1, portanto ele não bate no chão — ótimo.
  • O teto (forro) deve ficar acima da altura máxima atingida pelo avião. Como a maior altura que o avião alcança é y=5, para garantir que ele não toque no forro devemos exigir que a altura do forro seja maior do que 5.
  • Observações práticas: se o avião tem dimensão não desprezível ou se quiser uma margem de segurança, acrescentar uma folga (por exemplo, fazer o forro a 5,1 ou 6 unidades) é recomendável. Mas matematicamente, para um ponto material, qualquer H tal que H>5 evita o contato.

Passo 5

Resumo prático rápido de como usar o gráfico para checar (passos que eu faria no teste/estudo):
  • Plote (x(t),y(t)) para t de 0 a, digamos, 4\pi para ver várias oscilações.
  • No gráfico, leia a coordenada máxima em y (deverá aparecer em y=5); confirme com a análise trigonométrica acima.
  • Conclua: escolher o forro com altura superior a 5.

Resposta

A altura do forro deve ser maior que 5.

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