Use um recurso gráfico para gerar a trajetória de um aviãozinho de papel cujas equações do movimento para
são
Supondo que o avião voe em uma sala na qual o chão está em
, qual deve ser a altura do forro da sala para garantir que o avião não toque ou se arrebente nele?
Passo 1
O enunciado nos dá as equações paramétricas do movimento do aviãozinho (para
) e pede para gerar graficamente a trajetória e determinar a altura do forro da sala para que o avião não a toque. Informações e pedidos explicitados:
- Equações do movimento:
- Domínio do tempo:
. - O chão da sala está em
. - Pergunta principal: qual deve ser a altura do forro (valor de
do teto) para garantir que o avião não toque ou se arrebente nele? - Também foi pedido “usar um recurso gráfico” para gerar a trajetória (vou mostrar como fazer o gráfico passo a passo).
Passo 2
Entendendo o que fazer graficamente (sem pular etapas).
- Uma curva paramétrica é o conjunto de pontos
à medida que varia. Para visualizar, escolhe-se um intervalo de razoável (por exemplo, mostra várias oscilações) e plota-se os pares . - Recurso gráfico sugerido (duas opções simples):
- Desmos/GeoGebra: entrar em modo curva paramétrica e digitar
com variando, por exemplo, de a . - Python + Matplotlib (exemplo de código que pode colar e executar):
- Desmos/GeoGebra: entrar em modo curva paramétrica e digitar
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 4*np.pi, 1000) # intervalo de t
x = t - 2*np.sin(t)
y = 3 - 2*np.cos(t)
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(x,y, '-b')
plt.axhline(0, color='k', linestyle='--') # chão y=0
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Trajetória paramétrica do aviãozinho')
plt.grid(True)
plt.ylim(-1, 6) # ajuste para ver teto e chão
plt.show()
- Observação prática: esse gráfico mostra a forma da trajetória e permite visualizar a altura máxima alcançada pelo avião.
Passo 3
Encontrando a altura máxima de forma analítica (aqui aprendo a fazer na prova, sem depender só do gráfico).
- Só precisamos da componente vertical
. Para saber se a curva bate no teto, é suficiente encontrar o valor máximo de para . - Propriedade trigonométrica essencial (explicação): a função cosseno tem valores entre
e , isto é
- Usando isso em
, obtemos intervalos para :
Logo,
varia entre
e
. Em palavras: o aviãozinho nunca fica mais baixo que
e nunca mais alto que
.
- (Se quiser confirmar com derivadas — método da prova)
- Calcule a derivada:
. - Zeros críticos:
( inteiro, e com no nosso domínio). - Avaliando
em : para par, (mínimo); para ímpar, (máximo). A segunda derivada confirma a natureza (em máximos , em mínimos ).
- Calcule a derivada:
- Resultado chave (usável direto na prova): o valor máximo de
alcançado é .
Passo 4
Interpretação física e resposta prática.
- O chão está em
e vimos que o avião nunca desce abaixo de , portanto ele não bate no chão — ótimo. - O teto (forro) deve ficar acima da altura máxima atingida pelo avião. Como a maior altura que o avião alcança é
, para garantir que ele não toque no forro devemos exigir que a altura do forro seja maior do que . - Observações práticas: se o avião tem dimensão não desprezível ou se quiser uma margem de segurança, acrescentar uma folga (por exemplo, fazer o forro a
ou unidades) é recomendável. Mas matematicamente, para um ponto material, qualquer tal que evita o contato.
Passo 5
Resumo prático rápido de como usar o gráfico para checar (passos que eu faria no teste/estudo):
- Plote
para de a, digamos, para ver várias oscilações. - No gráfico, leia a coordenada máxima em
(deverá aparecer em ); confirme com a análise trigonométrica acima. - Conclua: escolher o forro com altura superior a
.
Resposta
A altura do forro deve ser maior que
.