Esboce a maior região na qual a função f é contínua.
a) f(x, y)=y \ln (1+x)
b) f(x, y)=\ln (2 x-y+1)
c) f(x, y)=e^{1-x y}
d) f(x, y, z)=\ln \left(4-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)
e) f(x, y, z)=\frac{y+1}{x^{2}+z^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das funções abaixo, esboçar (ou seja, descrever) a maior região do espaço em que a função é contínua. As funções dadas são:
  • (a) f(x,y)=y\ln(1+x).
  • (b) f(x,y)=\ln(2x-y+1).
  • (c) f(x,y)=e^{1-xy}.
  • (d) f(x,y,z)=\ln\bigl(4-x^{2}-y^{2}-z^{2}\bigr).
  • (e) f(x,y,z)=\dfrac{y+1}{x^{2}+z^{2}-1}.
Informações relevantes fornecidas: cada função está expressa em termos elementares (logaritmo natural, exponencial, operações algébricas). A tarefa é determinar, para cada uma, o maior conjunto de pontos em que a função existe e, portanto, é contínua (ou seja, seu domínio de continuidade maximal).

Passo 2

Conceitos e fatos que vou usar (pequena “aula” didática, passo a passo e sem pular etapas):
  1. Domínio do logaritmo natural: a função \ln(t) está definida somente para argumentos t>0. Em particular, sempre que aparecer \ln(\text{expressão})ã, é necessário exigir \text{expressão}>0ã.
  2. Continuidade básica:
    • Polinômios e somas/produtos/composições de polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}^n.
    • A função exponencial e^{u} é contínua para todo u\in\mathbb{R}.
    • Produto e composição de funções contínuas são contínuas onde todas as operações estiverem definidas.
    • Uma função racional \dfrac{A}{B} (com A e B contínuas) é contínua onde B\neq 0.
  3. Conclusão prática: para cada função, primeiramente encontro o conjunto de pontos em que a expressão está definida (ex.: argumentos de \ln estritamente positivos; denominador diferente de zero). Esse conjunto é exatamente a maior região onde a função pode ser contínua, porque dentro desse conjunto todas as operações envolvidas são operações contínuas conhecidas. Na fronteira onde a função deixa de estar definida (por exemplo, argumento do log igual a zero ou denominador igual a zero), a função não existe e, portanto, não é contínua ali.

Passo 3

Parte (a): analisar f(x,y)=y\ln(1+x).
  1. Procurar restrições de domínio: há um \ln(1+x). Pelo item 1 da aula, devemos ter
1+x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-1.
Não há restrição sobre y (qualquer y\in\mathbb{R} é permitido).
  1. Portanto o domínio onde a função está definida é
D_a=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>-1\}.
  1. Justificativa de continuidade: dentro de D_a, a função x\mapsto\ln(1+x) é contínua (composição de \ln com a função affine x\mapsto 1+x), e multiplicar por y (uma variável livre) é uma operação contínua (produto de funções contínuas). Logo f é contínua em todo D_a. Não é possível estender além de x>-1 porque em x=-1 o argumento do \ln é zero e \ln(0) não existe, e para x<-1 o log é indefinido.

Passo 4

Parte (b): analisar f(x,y)=\ln(2x-y+1).
  1. Restrição de domínio: precisa valer
2x-y+1>0.
  1. Isolar y:
2x-y+1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad y<2x+1.
  1. Portanto o domínio é
D_b=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y<2x+1\},
ou seja, o semiplano aberto abaixo da reta y=2x+1.
  1. Continuidade: dentro desse semiplano o argumento do \ln é estritamente positivo, então \ln(2x-y+1) é a composição de contínuas e, portanto, contínua em D_b. Na fronteira y=2x+1 o argumento é zero (log indefinido) e acima da reta o argumento é negativo (log indefinido), então não há como estender a continuidade além de D_b.

Passo 5

Parte (c): analisar f(x,y)=e^{1-xy}.
  1. Aqui não há \ln nem divisão; o expoente é 1-xy, que é uma função polinomial em (x,y) (produto xy e soma com constante). Polinômios estão definidos e são contínuos em todo \mathbb{R}^2.
  2. Como a exponencial é contínua em todo \mathbb{R}, a composição (x,y)\mapsto e^{1-xy} é contínua em todo \mathbb{R}^2.
  3. Portanto o domínio maximal (maior região de continuidade) é
D_c=\mathbb{R}^2.

Passo 6

Parte (d): analisar f(x,y,z)=\ln\bigl(4-x^{2}-y^{2}-z^{2}\bigr).
  1. Restrição de domínio: exigir o argumento do log positivo:
4-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0.
  1. Reescrevendo,
x^{2}+y^{2}+z^{2}<4.
  1. Isso é o interior da esfera de raio 2 centrada na origem em \mathbb{R}^3. Portanto o domínio é a bola aberta de raio 2:
D_d=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^{2}+y^{2}+z^{2}<4\}.
  1. Continuidade: dentro dessa bola o argumento do \ln é positivo, as operações envolvidas são contínuas, então f é contínua em todo D_d. Não dá para incluir pontos da fronteira x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 (onde o argumento do log é zero) nem pontos fora (onde o argumento é negativo).

Passo 7

Parte (e): analisar f(x,y,z)=\dfrac{y+1}{x^{2}+z^{2}-1}.
  1. Aqui o numerador y+1 é um polinômio contínuo em todo \mathbb{R}^3. O denominador x^{2}+z^{2}-1 é também um polinômio contínuo, mas devemos exigir que o denominador não seja zero:
x^{2}+z^{2}-1\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+z^{2}\neq 1.
  1. Portanto o domínio é
D_e=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^{2}+z^{2}\neq 1\}.
Observação geométrica: o conjunto de pontos excluídos é o cilindro circular (em \mathbb{R}^3) de eixo paralelo ao eixo y e raio 1: \{(x,y,z) : x^{2}+z^{2}=1\}. A função é definida e contínua em todo o espaço exceto exatamente nessa superfície cilíndrica.
  1. Continuidade: em cada ponto com x^{2}+z^{2}\neq 1 o denominador é não nulo, portanto a razão de funções contínuas é contínua ali. Não há como estender a função continuamente através dos pontos onde x^{2}+z^{2}=1 a menos que o numerador também anulasse de forma apropriada (o que aqui não ocorre de modo geral), e mesmo assim cada ponto teria que ser analisado; portanto o domínio acima é o maior domínio de continuidade.

Passo 8

Resumo final (recapitulando de forma direta, para decorar e usar na prova):
  • Para funções com \ln(\cdot) sempre exigir argumento >0.
  • Para frações exigir denominador \neq 0.
  • Exceções como exponencial ou polinômios não impõem restrição; são contínuas em todo o espaço.
  • Geometricamente: condições x>-1, y<2x+1, bola interior x^{2}+y^{2}+z^{2}<4, e exclusão do cilindro x^{2}+z^{2}=1 são fáceis de desenhar e memorizar.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>-1\}
(b) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y<2x+1\}
(c) \mathbb{R}^2
(d) \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^{2}+y^{2}+z^{2}<4\}
(e) \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^{2}+z^{2}\neq 1\}

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