Esboce a maior região na qual a função
é contínua.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: para cada uma das funções abaixo, esboçar (ou seja, descrever) a maior região do espaço em que a função é contínua. As funções dadas são:
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
.
Informações relevantes fornecidas: cada função está expressa em termos elementares (logaritmo natural, exponencial, operações algébricas). A tarefa é determinar, para cada uma, o maior conjunto de pontos em que a função existe e, portanto, é contínua (ou seja, seu domínio de continuidade maximal).
Passo 2
Conceitos e fatos que vou usar (pequena “aula” didática, passo a passo e sem pular etapas):
-
Domínio do logaritmo natural: a função
está definida somente para argumentos . Em particular, sempre que aparecer , é necessário exigir . -
Continuidade básica:
- Polinômios e somas/produtos/composições de polinômios são contínuos em todo
. - A função exponencial
é contínua para todo . - Produto e composição de funções contínuas são contínuas onde todas as operações estiverem definidas.
- Uma função racional
(com e contínuas) é contínua onde .
- Polinômios e somas/produtos/composições de polinômios são contínuos em todo
-
Conclusão prática: para cada função, primeiramente encontro o conjunto de pontos em que a expressão está definida (ex.: argumentos de
estritamente positivos; denominador diferente de zero). Esse conjunto é exatamente a maior região onde a função pode ser contínua, porque dentro desse conjunto todas as operações envolvidas são operações contínuas conhecidas. Na fronteira onde a função deixa de estar definida (por exemplo, argumento do log igual a zero ou denominador igual a zero), a função não existe e, portanto, não é contínua ali.
Passo 3
Parte (a): analisar
.
- Procurar restrições de domínio: há um
. Pelo item 1 da aula, devemos ter
Não há restrição sobre
(qualquer
é permitido).
- Portanto o domínio onde a função está definida é
- Justificativa de continuidade: dentro de
, a função é contínua (composição de com a função affine ), e multiplicar por (uma variável livre) é uma operação contínua (produto de funções contínuas). Logo é contínua em todo . Não é possível estender além de porque em o argumento do é zero e não existe, e para o log é indefinido.
Passo 4
Parte (b): analisar
.
- Restrição de domínio: precisa valer
- Isolar
:
- Portanto o domínio é
ou seja, o semiplano aberto abaixo da reta
.
- Continuidade: dentro desse semiplano o argumento do
é estritamente positivo, então é a composição de contínuas e, portanto, contínua em . Na fronteira o argumento é zero (log indefinido) e acima da reta o argumento é negativo (log indefinido), então não há como estender a continuidade além de .
Passo 5
Parte (c): analisar
.
-
Aqui não há
nem divisão; o expoente é , que é uma função polinomial em (produto e soma com constante). Polinômios estão definidos e são contínuos em todo . -
Como a exponencial é contínua em todo
, a composição é contínua em todo . -
Portanto o domínio maximal (maior região de continuidade) é
Passo 6
Parte (d): analisar
.
- Restrição de domínio: exigir o argumento do log positivo:
- Reescrevendo,
- Isso é o interior da esfera de raio
centrada na origem em . Portanto o domínio é a bola aberta de raio :
- Continuidade: dentro dessa bola o argumento do
é positivo, as operações envolvidas são contínuas, então é contínua em todo . Não dá para incluir pontos da fronteira (onde o argumento do log é zero) nem pontos fora (onde o argumento é negativo).
Passo 7
Parte (e): analisar
.
- Aqui o numerador
é um polinômio contínuo em todo . O denominador é também um polinômio contínuo, mas devemos exigir que o denominador não seja zero:
- Portanto o domínio é
Observação geométrica: o conjunto de pontos excluídos é o cilindro circular (em
) de eixo paralelo ao eixo
e raio
:
. A função é definida e contínua em todo o espaço exceto exatamente nessa superfície cilíndrica.
- Continuidade: em cada ponto com
o denominador é não nulo, portanto a razão de funções contínuas é contínua ali. Não há como estender a função continuamente através dos pontos onde a menos que o numerador também anulasse de forma apropriada (o que aqui não ocorre de modo geral), e mesmo assim cada ponto teria que ser analisado; portanto o domínio acima é o maior domínio de continuidade.
Passo 8
Resumo final (recapitulando de forma direta, para decorar e usar na prova):
- Para funções com
sempre exigir argumento . - Para frações exigir denominador
. - Exceções como exponencial ou polinômios não impõem restrição; são contínuas em todo o espaço.
- Geometricamente: condições
, , bola interior , e exclusão do cilindro são fáceis de desenhar e memorizar.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)