Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
z=x y e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = x\,y\,e^{x y}.
Para resolver, vamos usar a regra do produto (quando uma função é produto de duas funções) e a regra da cadeia (para derivar e^{x y}).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}. Tratando y como constante, note que z(x,y)=\bigl(xy\bigr)\cdot e^{x y}. Pela regra do produto,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy\bigr)=y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=e^{x y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y\,e^{x y}.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = y\cdot e^{x y} + (x y)\cdot\bigl(y\,e^{x y}\bigr) = y\,e^{x y} + x\,y^{2}\,e^{x y} = y\,e^{x y}\,(1 + x y).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}. Agora tratamos x como constante. Temos z(x,y)=(x y)\,e^{x y}. Pela regra do produto,
\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x, \qquad \frac{\partial}{\partial y}e^{x y}=e^{x y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x\,e^{x y}.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial y} = x\cdot e^{x y} + (x y)\cdot\bigl(x\,e^{x y}\bigr) = x\,e^{x y} + x^{2}y\,e^{x y} = x\,e^{x y}\,(1 + x y).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = y\,e^{x y}\,(1 + x y), \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x\,e^{x y}\,(1 + x y).

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