Use a regra da cadeia para achar \frac{d z}{d t}.
c) z=\ln (3 x y), x=t^{2}, y=3 t-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dz}{dt} quando
z=\ln(3xy),\qquad x=t^{2},\qquad y=3t-1.
As perguntas implicitas são: (i) como aplicar a regra da cadeia para uma função de duas variáveis z(x,y) cuja x e y dependem de t; (ii) calcular explicitamente a derivada \dfrac{dz}{dt} substituindo x(t) e y(t).
Informações dadas e que vou usar (retiradas do enunciado):
  • z é função de x e y por z=\ln(3xy).
  • x é função de t: x(t)=t^{2}.
  • y é função de t: y(t)=3t-1.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vou usar): se z=f(x,y) com x=x(t) e y=y(t), a regra da cadeia para derivadas é
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}.
Explicando: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x mantendo y fixo; \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t (mesmo raciocínio para a parte com y). A soma pondera as taxas de variação de z através de x e através de y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z=\ln(3xy).
Usa-se a regra da derivada do logaritmo composta com a derivada do argumento:
\frac{\partial}{\partial x}\ln(3xy)=\frac{1}{3xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(3xy).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y, vem
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{3xy}\cdot 3y=\frac{1}{x}.
De modo análogo para y:
\frac{\partial}{\partial y}\ln(3xy)=\frac{1}{3xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(3xy)=\frac{1}{3xy}\cdot 3x=\frac{1}{y},
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\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das funções dadas:
x(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=2t.
y(t)=3t-1\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=3.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia com as derivadas parciais e as derivadas de x e y:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt} =\frac{1}{x}\cdot(2t)+\frac{1}{y}\cdot 3.

Passo 6

Substituir x=t^{2} e y=3t-1 na expressão:
\frac{dz}{dt}=\frac{2t}{t^{2}}+\frac{3}{3t-1}.
Simplificar \dfrac{2t}{t^{2}}=\dfrac{2}{t}, portanto
\frac{dz}{dt}=\frac{2}{t}+\frac{3}{3t-1}.

Passo 7

(Se preferir uma única fração) Colocar em denominador comum t(3t-1):
\frac{2}{t}+\frac{3}{3t-1}=\frac{2(3t-1)+3t}{t(3t-1)}=\frac{6t-2+3t}{t(3t-1)}=\frac{9t-2}{t(3t-1)}.

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{2}{t}+\dfrac{3}{3t-1}=\dfrac{9t-2}{t(3t-1)}

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