Use a regra da cadeia para achar
.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
quando
As perguntas implicitas são: (i) como aplicar a regra da cadeia para uma função de duas variáveis
cuja
e
dependem de
; (ii) calcular explicitamente a derivada
substituindo
e
.
Informações dadas e que vou usar (retiradas do enunciado):
-
é função de e por . -
é função de : . -
é função de : .
Passo 2
Lembrete (fórmula que vou usar): se
com
e
, a regra da cadeia para derivadas é
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada de
em relação a
(mesmo raciocínio para a parte com
). A soma pondera as taxas de variação de
através de
e através de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Usa-se a regra da derivada do logaritmo composta com a derivada do argumento:
Como
, vem
De modo análogo para
:
logo
Passo 4
Calcular
e
a partir das funções dadas:
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia com as derivadas parciais e as derivadas de
e
:
Passo 6
Substituir
e
na expressão:
Simplificar
, portanto
Passo 7
(Se preferir uma única fração) Colocar em denominador comum
: