Exercício
. Sendo
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão interna do radical é
. Vou denominá-la por - Observação sobre domínio: a função
está definida apenas quando . Como para todo , isso equivale a . Portanto (e ) só fazem sentido real para . - O que se pede: calcular a derivada
em termos de .
Passo 2
Aplicação da regra da cadeia (explicando a fórmula): se
com
e
como acima, então a derivada é
portanto, pela regra da cadeia,
Aqui
é o argumento da raiz cúbica e
é a derivada desse argumento.
Passo 3
Vamos calcular
. Relembre a regra do produto: se
então
. No nosso caso tomamos
Então
Passo 4
Derivada de
: usando a regra da cadeia para exponenciais,
. Então a primeira parcela de
é
Passo 5
Derivada de
: usamos a propriedade do logaritmo
. Assim
Derivando termo a termo:
Agora reduzimos essa soma a uma única fração. Colocando denominador comum
,
Passo 6
Substituindo
na expressão de
obtemos
Fatorando
:
Passo 7
Agora voltamos à fórmula da regra da cadeia do Passo 2:
Substituindo
e o
do passo anterior:
Passo 8
Vamos simplificar um pouco a expressão. Observe que
então o fator que envolve
se combina:
Aplicando isso na expressão de
podemos escrever, de forma mais compacta,
Se preferir, mantendo tudo em uma única fração:
Passo 9
Lembrete final: todas as manipulações acima são válidas para
, que é o domínio onde
está definido. Você pode usar qualquer uma das formas equivalentes apresentadas conforme sua preferência ao escrever a resposta na prova.