Exercício 3(2,0). Sendo f(x)=\sqrt[3]{e^{2 x} \cdot \ln \left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)}, determine f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt[3]{e^{2x}\cdot \ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)}
e pede para determinar f'(x).
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão interna do radical é e^{2x}\cdot \ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right). Vou denominá-la por h(x)=e^{2x}\cdot \ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right).
  • Observação sobre domínio: a função \ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right) está definida apenas quando \frac{x}{x^{2}+1}>0. Como x^{2}+1>0 para todo x, isso equivale a x>0. Portanto f (e f') só fazem sentido real para x>0.
  • O que se pede: calcular a derivada f'(x) em termos de x.

Passo 2

Aplicação da regra da cadeia (explicando a fórmula): se f(x)=g(h(x)) com g(u)=u^{1/3} e h(x) como acima, então a derivada é
g'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3},
portanto, pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{3}h(x)^{-2/3}\cdot h'(x).
Aqui h(x) é o argumento da raiz cúbica e h'(x) é a derivada desse argumento.

Passo 3

Vamos calcular h'(x). Relembre a regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x) então h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). No nosso caso tomamos
u(x)=e^{2x},\qquad v(x)=\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right).
Então
h'(x)=\bigl(e^{2x}\bigr)'\cdot v(x)+e^{2x}\cdot v'(x).

Passo 4

Derivada de e^{2x}: usando a regra da cadeia para exponenciais, \frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}. Então a primeira parcela de h'(x) é
\bigl(e^{2x}\bigr)'\cdot v(x)=2e^{2x}\cdot \ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right).

Passo 5

Derivada de v(x)=\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right): usamos a propriedade do logaritmo \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b. Assim
v(x)=\ln x - \ln\!\left(x^{2}+1\right).
Derivando termo a termo:
v'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2x}{x^{2}+1}.
Agora reduzimos essa soma a uma única fração. Colocando denominador comum x(x^{2}+1),
v'(x)=\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{x(x^{2}+1)}=\frac{1-x^{2}}{x(x^{2}+1)}.

Passo 6

Substituindo v'(x) na expressão de h'(x) obtemos
h'(x)=2e^{2x}\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)+e^{2x}\cdot\frac{1-x^{2}}{x(x^{2}+1)}.
Fatorando e^{2x}:
h'(x)=e^{2x}\left(2\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)+\frac{1-x^{2}}{x(x^{2}+1)}\right).

Passo 7

Agora voltamos à fórmula da regra da cadeia do Passo 2:
f'(x)=\frac{1}{3}h(x)^{-2/3}\cdot h'(x).
Substituindo h(x)=e^{2x}\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right) e o h'(x) do passo anterior:
f'(x)=\frac{1}{3}\biggl(e^{2x}\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)\biggr)^{-2/3}\cdot e^{2x}\left(2\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)+\frac{1-x^{2}}{x(x^{2}+1)}\right).

Passo 8

Vamos simplificar um pouco a expressão. Observe que
\bigl(e^{2x}\bigr)^{-2/3}=e^{-4x/3},
então o fator que envolve e^{2x} se combina:
\frac{e^{2x}}{\bigl(e^{2x}\ln(\frac{x}{x^{2}+1})\bigr)^{2/3}} =\frac{e^{2x}}{e^{4x/3}\,\bigl(\ln(\frac{x}{x^{2}+1})\bigr)^{2/3}} =e^{2x-4x/3}\,\bigl(\ln(\tfrac{x}{x^{2}+1})\bigr)^{-2/3} =e^{2x/3}\,\bigl(\ln(\tfrac{x}{x^{2}+1})\bigr)^{-2/3}.
Aplicando isso na expressão de f'(x) podemos escrever, de forma mais compacta,
f'(x)=\frac{e^{2x/3}}{3}\left(2\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)+\frac{1-x^{2}}{x(x^{2}+1)}\right)\left(\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)\right)^{-2/3}.
Se preferir, mantendo tudo em uma única fração:
f'(x)=\frac{e^{2x}\left(2\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)+\dfrac{1-x^{2}}{x(x^{2}+1)}\right)}{3\left(e^{2x}\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)\right)^{2/3}}.

Passo 9

Lembrete final: todas as manipulações acima são válidas para x>0, que é o domínio onde \ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right) está definido. Você pode usar qualquer uma das formas equivalentes apresentadas conforme sua preferência ao escrever a resposta na prova.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{e^{2x}\left(2\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)+\dfrac{1-x^{2}}{x(x^{2}+1)}\right)}{3\left(e^{2x}\ln\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)\right)^{2/3}}

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