Use a Regra da Cadeia para achar
\frac{\partial z}{\partial s}
e
\frac{\partial z}{\partial t}, sendo:
z=e^{x+2 y}, \quad x=s / t, \quad y=t / s.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dado z=e^{x+2y}.
  • Foi dado x=s/t.
  • Foi dado y=t/s.
  • Pede para achar \dfrac{\partial z}{\partial s} e \dfrac{\partial z}{\partial t}.

Passo 2

Regra que vamos aplicar (a “Regra da Cadeia” para derivadas parciais): se z depende de x e y, e x e y dependem de s e t, então
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicando cada termo: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x mantendo y fixo; \dfrac{\partial x}{\partial s} é a derivada parcial de x em relação a s mantendo t fixo; e assim por diante. A soma aparece porque variações em s afetam z tanto via x quanto via y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} a partir de z=e^{x+2y}.
A função exponencial tem derivada igual a ela mesma multiplicada pela derivada do expoente. Como o expoente é x+2y,
  • ao derivar em relação a x (mantendo y fixo) o fator do expoente por x é 1, então
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}.
  • ao derivar em relação a y (mantendo x fixo) o fator do expoente por y é 2, então
\frac{\partial z}{\partial y}=2e^{x+2y}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x(s,t)=s/t.
Tratar x como x(s,t)=s\cdot t^{-1}.
  • Derivando em relação a s (com t fixo):
\frac{\partial x}{\partial s}=\frac{1}{t}.
  • Derivando em relação a t (com s fixo), usar regra do potência: t^{-1} -t^{-2}, então
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{s}{t^{2}}.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de y(s,t)=t/s.
Tratar y como y(s,t)=t\cdot s^{-1}.
  • Derivando em relação a s (com t fixo), s^{-1} tem derivada -s^{-2}, então
\frac{\partial y}{\partial s}=-\frac{t}{s^{2}}.
  • Derivando em relação a t (com s fixo):
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{1}{s}.

Passo 6

Montar \dfrac{\partial z}{\partial s} usando a regra da cadeia e as derivadas já calculadas:
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}, \dfrac{\partial x}{\partial s}=\dfrac{1}{t}, \dfrac{\partial z}{\partial y}=2e^{x+2y} e \dfrac{\partial y}{\partial s}=-\dfrac{t}{s^{2}}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{x+2y}\cdot\frac{1}{t}+2e^{x+2y}\cdot\left(-\frac{t}{s^{2}}\right).
Fatorando e^{x+2y},
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{x+2y}\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}\right).
Agora substituir x=\dfrac{s}{t} e y=\dfrac{t}{s} no expoente:
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}\right).
Se quiser combinar em uma única fração:
\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}=\frac{s^{2}-2t^{2}}{t\,s^{2}},
portanto
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\cdot\frac{s^{2}-2t^{2}}{t\,s^{2}}.

Passo 7

Montar \dfrac{\partial z}{\partial t} usando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}, \dfrac{\partial x}{\partial t}=-\dfrac{s}{t^{2}}, \dfrac{\partial z}{\partial y}=2e^{x+2y} e \dfrac{\partial y}{\partial t}=\dfrac{1}{s}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial t}=e^{x+2y}\left(-\frac{s}{t^{2}}\right)+2e^{x+2y}\left(\frac{1}{s}\right).
Fatorando e^{x+2y},
\frac{\partial z}{\partial t}=e^{x+2y}\left(-\frac{s}{t^{2}}+\frac{2}{s}\right).
Substituindo x=\dfrac{s}{t} e y=\dfrac{t}{s} no expoente:
\frac{\partial z}{\partial t}=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\left(-\frac{s}{t^{2}}+\frac{2}{s}\right).
Combinando em uma fração comum:
-\frac{s}{t^{2}}+\frac{2}{s}=\frac{-s^{2}+2t^{2}}{s\,t^{2}},
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\frac{\partial z}{\partial t}=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\cdot\frac{-s^{2}+2t^{2}}{s\,t^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}\right)=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\cdot\frac{s^{2}-2t^{2}}{t\,s^{2}}\
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\left(-\frac{s}{t^{2}}+\frac{2}{s}\right)=e^{\frac{s}{t}+\frac{2t}{s}}\cdot\frac{-s^{2}+2t^{2}}{s\,t^{2}}

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