Use a Regra da Cadeia para achar
\frac{\partial z}{\partial s}
e
\frac{\partial z}{\partial t}, sendo:
.
\frac{\partial z}{\partial s}
e
\frac{\partial z}{\partial t}, sendo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dado
. - Foi dado
. - Foi dado
. - Pede para achar
e .
Passo 2
Regra que vamos aplicar (a “Regra da Cadeia” para derivadas parciais): se
depende de
e
, e
e
dependem de
e
, então
Explicando cada termo:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo; e assim por diante. A soma aparece porque variações em
afetam
tanto via
quanto via
.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
A função exponencial tem derivada igual a ela mesma multiplicada pela derivada do expoente. Como o expoente é
,
- ao derivar em relação a
(mantendo fixo) o fator do expoente por é , então
- ao derivar em relação a
(mantendo fixo) o fator do expoente por é , então
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
Tratar
como
.
- Derivando em relação a
(com fixo):
- Derivando em relação a
(com fixo), usar regra do potência: dá , então
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
.
Tratar
como
.
- Derivando em relação a
(com fixo), tem derivada , então
- Derivando em relação a
(com fixo):
Passo 6
Montar
usando a regra da cadeia e as derivadas já calculadas:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Fatorando
,
Agora substituir
e
no expoente:
Se quiser combinar em uma única fração:
portanto
Passo 7
Montar
usando a regra da cadeia:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Fatorando
,
Substituindo
e
no expoente:
Combinando em uma fração comum:
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