Use a regra da cadeia para achar
e
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
. As informações dadas são:
Ou seja:
é uma função de duas variáveis intermediárias
e
, e essas por sua vez dependem de
e
. A tarefa é aplicar a regra da cadeia para obter
e
.
Passo 2
Vamos lembrar a forma da regra da cadeia para funções compostas do tipo
com
e
. A regra diz:
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo; -
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo; - e assim por diante. Esse é o plano: calcular cada uma dessas derivadas parciais e substituí-las na fórmula.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Derivando em relação a
(segurando
fixo):
Explicação:
derivado em relação a
é
, e
é tratado como constante aqui.
Derivando em relação a
(segurando
fixo):
Explicação:
é constante ao derivar em
; a derivada de
é
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de
e de
em relação a
e
.
Para
:
Explicação: ao derivar
em relação a
tratamos
como constante (fica multiplicando), e vice-versa.
Para
:
use a regra da cadeia para potências. Seja , então
e
.
use a regra da cadeia para potências. Seja
Observação: escrevemos essas derivadas também como
e
, porque
.
Passo 5
Agora juntamos tudo na fórmula da regra da cadeia.
Primeiro
:
Colocando um fator comum
:
Substituindo
e
para expressar em termos de
:
Agora
:
Fatorando
e substituindo
e
: