Use a regra da cadeia para achar \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t} nos seguintes casos:
z=e^{r} \operatorname{sen} \theta, \quad r=s t, \theta=\sqrt{s^{2}+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial s} e \dfrac{\partial z}{\partial t}. As informações dadas são:
z = e^{r}\,\operatorname{sen}\theta,
r = s\,t,
\theta = \sqrt{s^{2}+t^{2}}.
Ou seja: z é uma função de duas variáveis intermediárias r e \theta, e essas por sua vez dependem de s e t. A tarefa é aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial z}{\partial s} e \dfrac{\partial z}{\partial t}.

Passo 2

Vamos lembrar a forma da regra da cadeia para funções compostas do tipo z=f(r,\theta) com r=g(s,t) e \theta=h(s,t). A regra diz:
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial t}.
Aqui:
  • \dfrac{\partial f}{\partial r} é a derivada parcial de f em relação a r, mantendo \theta fixo;
  • \dfrac{\partial r}{\partial s} é a derivada parcial de r em relação a s, mantendo t fixo;
  • e assim por diante. Esse é o plano: calcular cada uma dessas derivadas parciais e substituí-las na fórmula.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(r,\theta)=e^{r}\,\operatorname{sen}\theta em relação a r e a \theta.
Derivando em relação a r (segurando \theta fixo):
\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\big(e^{r}\,\operatorname{sen}\theta\big) = e^{r}\,\operatorname{sen}\theta.
Explicação: e^{r} derivado em relação a r é e^{r}, e \operatorname{sen}\theta é tratado como constante aqui.
Derivando em relação a \theta (segurando r fixo):
\frac{\partial f}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\big(e^{r}\,\operatorname{sen}\theta\big) = e^{r}\,\cos\theta.
Explicação: e^{r} é constante ao derivar em \theta; a derivada de \operatorname{sen}\theta é \cos\theta.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de r e de \theta em relação a s e t.
Para r(s,t)=s\,t:
\frac{\partial r}{\partial s}=t,\qquad \frac{\partial r}{\partial t}=s.
Explicação: ao derivar s\,t em relação a s tratamos t como constante (fica multiplicando), e vice-versa.
Para \theta(s,t)=\sqrt{s^{2}+t^{2}}=(s^{2}+t^{2})^{1/2}:
use a regra da cadeia para potências. Seja u=s^{2}+t^{2}, então \theta=u^{1/2} e \theta'=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u'.
\frac{\partial \theta}{\partial s}=\frac{1}{2}(s^{2}+t^{2})^{-1/2}\cdot 2s=\frac{s}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}},
\frac{\partial \theta}{\partial t}=\frac{1}{2}(s^{2}+t^{2})^{-1/2}\cdot 2t=\frac{t}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}.
Observação: escrevemos essas derivadas também como \dfrac{s}{\theta} e \dfrac{t}{\theta}, porque \theta=\sqrt{s^{2}+t^{2}}.

Passo 5

Agora juntamos tudo na fórmula da regra da cadeia.
Primeiro \dfrac{\partial z}{\partial s}:
\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial s} = \big(e^{r}\,\operatorname{sen}\theta\big)\cdot t + \big(e^{r}\,\cos\theta\big)\cdot\frac{s}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}.
Colocando um fator comum e^{r}:
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{r}\!\left(t\,\operatorname{sen}\theta + \frac{s}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}\cos\theta\right).
Substituindo r=s t e \theta=\sqrt{s^{2}+t^{2}} para expressar em termos de s,t:
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{st}\!\left(t\,\operatorname{sen}\!\sqrt{s^{2}+t^{2}}+\frac{s}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}\cos\!\sqrt{s^{2}+t^{2}}\right).
Agora \dfrac{\partial z}{\partial t}:
\frac{\partial z}{\partial t} =\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial t} = \big(e^{r}\,\operatorname{sen}\theta\big)\cdot s + \big(e^{r}\,\cos\theta\big)\cdot\frac{t}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}.
Fatorando e^{r} e substituindo r e \theta:
\frac{\partial z}{\partial t}=e^{r}\!\left(s\,\operatorname{sen}\theta + \frac{t}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}\cos\theta\right) = e^{st}\!\left(s\,\operatorname{sen}\!\sqrt{s^{2}+t^{2}}+\frac{t}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}\cos\!\sqrt{s^{2}+t^{2}}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=e^{st}\!\left(t\,\operatorname{sen}\!\sqrt{s^{2}+t^{2}}+\frac{s}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}\cos\!\sqrt{s^{2}+t^{2}}\right)\n
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=e^{st}\!\left(s\,\operatorname{sen}\!\sqrt{s^{2}+t^{2}}+\frac{t}{\sqrt{s^{2}+t^{2}}}\cos\!\sqrt{s^{2}+t^{2}}\right)

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