Use a Regra da Cadeia para achar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=e^s+2 s, x=s / t, y=t / s

Passo 1

O enunciado fornece a função
z = e^x + 2y,
onde
x = st, y = ts
Queremos calcular as derivadas parciais partial zpartial s e partial zpartial t usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a s e t.
Para x = s/t:
partial xpartial s = 1t, partial xpartial t = -st^2
Para y = t/s:
partial ypartial s = -ts^2, partial ypartial t = 1s

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial s = partial zpartial x,partial xpartial s + partial zpartial y,partial ypartial s
Como z = e^x+2y, temos
partial zpartial x = e^x+2y, partial zpartial y = 2,e^x+2y
Substituindo e usando os resultados do passo anterior:
partial zpartial s = e^x+2ycdot1t + 2,e^x+2ycdotl(-ts^2r) = e^x+2yl(1t - 2ts^2r)
Voltando a x e y em termos de s,t:
partial zpartial s = exp!l(st + 2tsr)l(1t - 2ts^2r)

Passo 4

De maneira análoga,
partial zpartial t = partial zpartial x,partial xpartial t + partial zpartial y,partial ypartial t = e^x+2yl(-st^2r) + 2,e^x+2yl(1sr) = e^x+2yl(-st^2 + 2sr)
Substituindo x e y:
partial zpartial t = exp!l(st + 2tsr)l(-st^2 + 2sr)

Resposta

partial zpartial s = exp!l(st + 2tsr)l(1t - 2ts^2r), partial zpartial t = exp!l(st + 2tsr)l(-st^2 + 2sr)

Exercícios relacionados