Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
Determine se as seguintes funções são contínuas em (0,0).
f(x, y)=ll1r^2-1 & se r<1 0 & se r >= 1 onde r=|(x, y)|

Passo 1

O enunciado nos dá a função
once é contínua e, em particular, verificar a continuidade em .]

Passo 2

Em cada região r<1 e r>1, f é composição de funções contínuas:
  • Para r<1, a função r^2-1 é contínua e não se anula, logo 1/(r^2-1) é contínua.
  • Para r>1, f é constante igual a 0, também contínua.
    Portanto, f é contínua em
(x,y):r<1 e (x,y):r>1

Passo 3

Na fronteira r=1, temos f(x,y)=0 para todo (x,y) com r=1. Porém, aproximando-se dessa fronteira pela região interna r<1,
1r^2-1;longrightarrow;-infty quando rto1^-,
ou seja, o limite não coincide com 0 nem é finito. Logo, f é descontínua em todo o círculo unitário (x,y):r=1.

Passo 4

No ponto (0,0) temos r=0<1, então
f(0,0)=10^2-1=-1
Ao aproximar (x,y)to(0,0), rto0 e
f(x,y)=1r^2-1;longrightarrow;10-1=-1
Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=-1=f(0,0), concluímos que f é contínua em (0,0).

Passo 5

Juntando tudo, o conjunto de continuidade de f é
(x,y)inR^2 : r<1;cup;(x,y)inR^2 : r>1 ;=;(x,y)inR^2 : |(x,y)|neq1

Resposta

O conjunto de pontos de continuidade de f é
(x,y)inR^2: |(x,y)|neq1
Em particular, f é contínua em (0,0).

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