Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
Determine se as seguintes funções são contínuas em (0,0).
onde
r=|(x, y)|
Determine se as seguintes funções são contínuas em (0,0).
Passo 1
O enunciado nos dá a função
once é contínua e, em particular, verificar a continuidade em
.]
Passo 2
Em cada região
r<1 e
r>1 ,
f é composição de funções contínuas:
- Para
, a funçãor<1 é contínua e não se anula, logor^2-1 é contínua.1/(r^2-1) - Para
,r>1 é constante igual af , também contínua.0
Portanto, é contínua emf
Passo 3
Na fronteira
r=1 , temos
f(x,y)=0 para todo
(x,y) com
r=1 . Porém, aproximando-se dessa fronteira pela região interna
r<1 ,
ou seja, o limite não coincide com
0 nem é finito. Logo,
f é descontínua em todo o círculo unitário
(x,y):r=1 .
Passo 4
No ponto
(0,0) temos
r=0<1 , então
Ao aproximar
(x,y)to(0,0) ,
rto0 e
Como
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=-1=f(0,0) , concluímos que
f é contínua em
(0,0) .
Passo 5
Juntando tudo, o conjunto de continuidade de
f é
Resposta
O conjunto de pontos de continuidade de
f é
Em particular,
f é contínua em
(0,0) .